Nous étudions un opérateur défini à partir d’une classe générale d’équations différentielles singulièrement perturbées dans le champ réel ; son caractère contractant permet de conclure à l’existence de solutions canard dans le cas où l’on a un point tournant dégénéré.

Soit $s$ un entier naturel non nul, et $f$ une fonction entière de $s$ variables complexes. Dans un article précédent, nous avons démontré dans le cas $s=1$, que si $f$ est une solution d’un système de $2$ équations aux différences à coefficients polynomiaux dans deux directions différentes, avec une condition restrictive portant sur les équations, alors $f$ est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Dans cet article, nous démontrons ce résultat dans le cas général, et l’analogue pour le cas de...

Soit $\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right),x\gg 0$ une solution à l’infini d’une équation différentielle algébrique d’ordre $n$, $P(x,y,y^{\prime },...,y^{\left(n\right)})=0$. Nous donnons un critère géométrique pour que les germes à l’infini de $\varphi$ et de la fonction identité sur $ℝ$ appartiennent à un même corps de Hardy. Ce critère repose sur le concept de non oscillation.

In this paper, we are concerned with the existence of solutions of the following multi-point boundary value problem consisting of the higher-order differential equation $$x^{\left(n\right)}\left(t\right)=f(t,x\left(t\right),x^{\text{'}}\left(t\right),\cdots ,x^{(n-1)}\left(t\right))+e\left(t\right),0<t<1,(*)$$ and the following multi-point boundary value conditions $$\begin{array}{cc}\hfill 1*-1x^{\left(i\right)}\left(0\right)& =0fori=0,1,\cdots ,n-3,\hfill \\ \hfill x^{(n-1)}\left(0\right)& =\alpha x^{(n-1)}\left(\xi \right),x^{(n-2)}\left(1\right)=\sum _{i=1}^m{\beta }_i{x}^{(n-2)}\left({\eta }_i\right).**\hfill \end{array}$$ Sufficient conditions for the existence of at least one solution of the BVP $(*)$ and $(**)$ at resonance are established. The results obtained generalize and complement those in [13, 14]. This paper is directly motivated by Liu and Yu [J. Pure Appl. Math. 33 (4)(2002), 475–494...

The paper considers a scalar differential equation of an advance-delay type $$\dot{y}\left(t\right)=-\left(a_0+\frac{a_1}{t}\right)y(t-\tau )+\left(b_0+\frac{b_1}{t}\right)y(t+\sigma ),$$ where constants $a_0$, $b_0$, $\tau$ and $\sigma$ are positive, and $a_1$ and $b_1$ are arbitrary. The behavior of its solutions for $t\to \infty$ is analyzed provided that the transcendental equation $$\lambda =-a_0{\mathrm{e}}^{-\lambda \tau }+b_0{\mathrm{e}}^{\lambda \sigma }$$ has a positive real root. An exponential-type function approximating the solution is searched for to be used in proving the existence of a semi-global solution. Moreover, the lower and upper estimates are given for such a solution.