In the paper we construct some stratifications of the space of monic polynomials in real and complex cases. These stratifications depend on properties of roots of the polynomials on some given semialgebraic subset of R or C. We prove differential triviality of these stratifications. In the real case the proof is based on properties of the action of the group of interval exchange transformations on the set of all monic polynomials of some given degree. Finally we compare stratifications corresponding...

Given a compact manifold $N^n$, an integer $k\in {\mathbb{N}}_{*}$ and an exponent $1\le p<\infty$, we prove that the class $C^{\infty }({\overline{Q}}^m;N^n)$ of smooth maps on the cube with values into $N^n$ is dense with respect to the strong topology in the Sobolev space $W^{k,p}(Q^m;N^n)$ when the homotopy group ${\pi }_{\lfloor kp\rfloor }\left(N^n\right)$ of order $\lfloor kp\rfloor$ is trivial. We also prove density of maps that are smooth except for a set of dimension $m-\lfloor kp\rfloor -1$, without any restriction on the homotopy group of $N^n$.

Soit $f:X\to Y$ un morphisme propre relativement algébrique entre espaces semi-analytiques. On montre que si ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ désigne l’anneau des fonctions de classe ${𝒞}^{\infty }$ sur $Y$, l’image par $f$ de ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ est fermée dans ${𝒞}^{\infty }\left(X\right)$ muni de sa topologie naturelle d’espace de Frechet ; ceci généralise un résultat précédent de J.-C. Tougeron (lui-même généralisant un résultat de Glaeser) qui traite du cas semi-algébrique. La méthode est tout à fait analogue et utilise des propriétés algébriques de l’anneau des fonctions Nash-analytiques introduit...

Le résultat principal de cet article est une formule explicite donnant le nombre de Milnor d’une singularité isolée d’intersection complète quasi-homogène d’une courbe de ${\mathbf{C}}^3$ en fonction des degrés et des poids. Ce calcul effectué par des méthodes topologiques repose sur le théorème suivant : la fibre de Milnor d’une singularité isolée d’intersection complète quasi-homogène ne dépend que des degrés et des poids à difféomorphisme près. Une autre conséquence de ce théorème est l’existence d’une morsification...

À l’aide des estimations de Hörmander pour l’opérateur $d^{\text{'}\text{'}}$, on montre pour certains fermés de ${\mathbf{C}}^n$ un résultat sur la nullité de la $d^{\text{'}\text{'}}$-cohomologie pour les formes de type $(p,q)$ à coefficients dans l’espace des fonctions différentiables au sens de Whitney.

A characterization of systems of first order differential equations with (classical) complete solutions is given. Systems with (classical) complete solutions that consist of hyperplanes are also characterized.