Let $(M,g)$ be a compact Riemannian manifold and $P_g$ an elliptic, formally self-adjoint, conformally covariant operator of order $m$ acting on smooth sections of a bundle over $M$. We prove that if $P_g$ has no rigid eigenspaces (see Definition 2.2), the set of functions $f\in C^{\infty }(M,ℝ)$ for which $P_{e^{f}g}$ has only simple non-zero eigenvalues is a residual set in $C^{\infty }(M,ℝ)$. As a consequence we prove that if $P_g$ has no rigid eigenspaces for a dense set of metrics, then all non-zero eigenvalues are simple for a residual set of metrics in the $C^{\infty }$-topology....

Robert C. Reilly a obtenu des majorations de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. De plus, il a montré que le cas d’égalité dans ces majorations est atteint uniquement pour les sphères géodésiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de pincement pour ces majorations. Nous montrons que si le cas d’égalité est presque atteint, alors l’hypersurface est proche d’une sphère, en un sens que nous préciserons. Nous déduisons ensuite des résultats...

On construit, sur une variété riemannienne $X$ de dimension $2$ ou $3$, les extensions autoadjointes ${\Delta }_{\alpha ,x_0}(\alpha \in \mathbf{R}/\pi \mathbf{Z})$ de la restriction du laplacien aux fonctions nulles au voisinage d’un point $x_0$ de $X$. On calcule explicitement les valeurs propres de ${\Delta }_{\alpha ,x_0}$.

Dans cet article, nous étudions une famille d’opérateurs auto-adjoints ${\Delta }_a$ dérivés du laplacien sur une surface de Riemann d’aire finie et ayant au voisinage de l’infini la structure d’un cylindre $[b,+\infty [\times \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ muni d’une métrique à courbure constante $-1$. Après avoir étudié la théorie spectrale de tels opérateurs, nous donnons, comme application, un théorème prévoyant l’absence générique de valeurs propres immergées dans le spectre continu du laplacien de ces surfaces. Nous montrons enfin comment ceci permet de...

We define the Bloch spectrum of a quantum graph to be the map that assigns to each element in the deRham cohomology the spectrum of an associated magnetic Schrödinger operator. We show that the Bloch spectrum determines the Albanese torus, the block structure and the planarity of the graph. It determines a geometric dual of a planar graph. This enables us to show that the Bloch spectrum indentifies and completely determines planar $3$-connected quantum graphs.

Let $Y$ be a hyperbolic surface and let $\phi$ be a Laplacian eigenfunction having eigenvalue $-1/4-{\tau }^2$ with $\tau >0$. Let $N\left(\phi \right)$ be the set of nodal lines of $\phi$. For a fixed analytic curve $\gamma$ of finite length, we study the number of intersections between $N\left(\phi \right)$ and $\gamma$ in terms of $\tau$. When $Y$ is compact and $\gamma$ a geodesic circle, or when $Y$ has finite volume and $\gamma$ is a closed horocycle, we prove that $\gamma$ is “good” in the sense of [TZ]. As a result, we obtain that the number of intersections between $N\left(\phi \right)$ and $\gamma$ is $O\left(\tau \right)$. This bound is sharp.

We prove a uniform lower bound for the difference λ₂ - λ₁ between the first two eigenvalues of the fractional Schrödinger operator ${(-\Delta )}^{\alpha /2}+V$, α ∈ (1,2), with a symmetric single-well potential V in a bounded interval (a,b), which is related to the Feynman-Kac semigroup of the symmetric α-stable process killed upon leaving (a,b). “Uniform” means that the positive constant $C_{\alpha }$ appearing in our estimate $\lambda ₂-\lambda ₁\ge C_{\alpha }{(b-a)}^{-\alpha }$ is independent of the potential V. In the general case of α ∈ (0,2), we also find a uniform lower bound for...

We define translation surfaces and, on these, the Laplace operator that is associated with the Euclidean (singular) metric. This Laplace operator is not essentially self-adjoint and we recall how self-adjoint extensions are chosen. There are essentially two geometrical self-adjoint extensions and we show that they actually share the same spectrum

In this paper, we explicitly determine the spectrum of Dirac operators acting on smooth sections of twisted spinor bundles over the complex projective space ${\mathbb{P}}^{2q+1}\left(ℂ\right)$ for $q\ge 1$.

P. Bérard et D. Meyer ont démontré une inégalité du type Faber-Krahn pour les domaines d'une variété compacte à courbure de Ricci positive. Nous démontrons des résultats de stabilité associés à cette inégalité.