Representation theory of local division algebras.
Soit un corps de valuation discrète complet de caractéristique , dont le corps résiduel est de caractéristique . On suppose que admet une -base finie. Soient une clôture algébrique de et . On construit et étudie des anneaux de périodes -adiques qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation...
On calcule le module des normes universelles pour une représentation -adique de de Rham. Le calcul utilise la théorie des -modules (la formule de réciprocité de Cherbonnier-Colmez) et l’équation différentielle associée à une représentation de de Rham.
Dans un travail précédent nous avons défini et étudié la fonction zêta associée à une représentation d’une algèbre de Jordan euclidienne déployée et à un réseau dans l’espace de la représentation. Nous avons démontré la convergence dans un demi-plan, établi l’existence d’un prolongement méromorphe et d’une équation fonctionnelle scalaire. Cette fonction est une généralisation de la fonction zêta de Koecher; elle est donnée dans son domaine de convergence, par une série qui somme sur certains éléments...
désigne la somme des chiffres de l’entier en base et la somme des chiffres de associée au développement en fraction continue de . La suite est équirépartie modulo 1 si et seulement si ou est irrationnel.
Plusieurs problèmes liés au problème de Waring utilisent des identités où l’on exprime une forme linéaire en comme somme ou différence de puissances -ièmes de formes linéaires en . La plupart de ces identités sont fournies par des solutions au problème de Tarry-Escott, sauf deux d’entre elles, dues à Rao et Vaserstein. Nous montrons que ces deux identités sont naturellement liées aux groupes et , puis développons une théorie qui permet d’associer à chaque groupe fini quelques identités de...
Nous traitons des liens entre équations différentielles -adiques et représentations -adiques de corps locaux de caractéristique , en nous concentrant sur le cas Bessel. Nous démontrons que toute équation de Bessel -adique normalisée à la Dwork, sur une fine couronne au bord du disque à l’infini, se trivialise sur un certain revêtement étale de cette couronne (revêtement provenant d’une extension finie séparable de ). Le cas difficile est , et nous explicitons complètement le revêtement et...
Nous construisons un complexe de représentations localement analytiques de , associé à certaines représentations semi-stables de dimension du groupe de Galois absolu de . Nous montrons ensuite que l’on peut retrouver le -module filtré de la représentation galoisienne en considérant les morphismes, dans la catégorie dérivée des -modules, de ce complexe dans le complexe de de Rham de l’espace de Drinfel’d de dimension . La preuve requiert le calcul de certains espaces de cohomologie localement...