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Construction of Ray class fields by elliptic units

Reinhard Schertz (1997)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

From complex multiplication we know that elliptic units are contained in certain ray class fields over a quadratic imaginary number field K , and Ramachandra [3] has shown that these ray class fields can even be generated by elliptic units. However the generators constructed by Ramachandra involve very complicated products of high powers of singular values of the Klein form defined below and singular values of the discriminant Δ . It is the aim of this paper to show, that in many cases a generator...

Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble

Odile Lecacheux (1998)

Acta Arithmetica

On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique ₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius 20 , au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l’aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant...

Contre-exemples au principe de Hasse pour certains tores coflasques

Régis de la Bretèche, Tim Browning (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Nous étudions le comportement asymptotique du nombre de variétés dans une certaine classe ne satisfaisant pas le principe de Hasse. Cette étude repose sur des résultats récemment obtenus par Colliot-Thélène [3].

Corestriction of central simple algebras and families of Mumford-type

Federica Galluzzi (1999)

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni

Let M be a family of Mumford-type, that is, a family of polarized complex abelian fourfolds as introduced by Mumford in [9]. This family is defined starting from a quaternion algebra A over a real cubic number field and imposing a condition to the corestriction of such A . In this paper, under some extra conditions on the algebra A , we make this condition explicit and in this way we are able to describe the polarization and the complex structures of the fibers. Then, we look at the non simple C ⁢ M -fibers...

Corps de définition et points rationnels

Geoffroy Derome (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Soit 𝔒 un objet algébrique (par exemple une courbe ou un revêtement) défini sur ℚ ¯ et de corps des modules un corps de nombres K . Il est bien connu que 𝔒 n’admet pas nécessairement de K -modèle. En utilisant deux résultats récents dus à P. Dèbes, J.-C. Douai et M. Emsalem nous donnerons un majorant pour le degré d’un corps de définition de 𝔒 sur K . Dans une deuxième partie, nous donnerons des conditions suffisantes sur l’ordre de Aut( 𝔒 ) pour que 𝔒 admette un K -modèle.

Correspondance

A. Desboves (1879)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot (2004/2005)

Séminaire Bourbaki

Soient M une variété de Shimura, Z ⊂ M fermée et irréductible et S ⊂ Z ( ℂ ) un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, Z est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si M est un espace de modules de variétés abéliennes, S est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et Z doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev montrent certains...

Counting elliptic curves of bounded Faltings height

Ruthi Hortsch (2016)

Acta Arithmetica

We give an asymptotic formula for the number of elliptic curves over ℚ with bounded Faltings height. Silverman (1986) showed that the Faltings height for elliptic curves over number fields can be expressed in terms of modular functions and the minimal discriminant of the elliptic curve. We use this to recast the problem as one of counting lattice points in a particular region in ℝ².

Counting points on elliptic curves over finite fields

René Schoof (1995)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

We describe three algorithms to count the number of points on an elliptic curve over a finite field. The first one is very practical when the finite field is not too large ; it is based on Shanks's baby-step-giant-step strategy. The second algorithm is very efficient when the endomorphism ring of the curve is known. It exploits the natural lattice structure of this ring. The third algorithm is based on calculations with the torsion points of the elliptic curve [18]. This deterministic polynomial...

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