Il n'y a pas de variété abélienne sur Z.
Nous prouvons un cas particulier de la conjecture suivante e Zilber-Pink, conjecture généralisant celle de Manin-Mumford : soit une courbe incluse dans une variété abélienne sur , qui n’est pas incluse dans une sous-variété de torsion ; l’intersection de avec la réunion de tous les sous-groupes de codimension au moins 2 est finie. Nous démontrons ici le cas où est une puissance d’une variété abélienne C.M. simple. La preuve reprend la stratégie de Rémond (suivant Bombieri-Masser-Zannier)...
We prove that if a curve of a nonisotrivial family of abelian varieties over a curve contains infinitely many isogeny orbits of a finitely generated subgroup of a simple abelian variety, then it is either torsion or contained in a fiber. This result fits into the context of the Zilber-Pink conjecture. Moreover, by using the polyhedral reduction theory we give a new proof of a result of Bertrand.
We propose a solution to the hyperelliptic Schottky problem, based on the use of Jacobian Nullwerte and symmetric models for hyperelliptic curves. Both ingredients are interesting on its own, since the first provide period matrices which can be geometrically described, and the second have remarkable arithmetic properties.