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Serre functors for Lie algebras and superalgebras

Volodymyr Mazorchuk, Vanessa Miemietz (2012)

Annales de l’institut Fourier

We propose a new realization, using Harish-Chandra bimodules, of the Serre functor for the BGG category 𝒪 associated to a semi-simple complex finite dimensional Lie algebra. We further show that our realization carries over to classical Lie superalgebras in many cases. Along the way we prove that category 𝒪 and its parabolic generalizations for classical Lie superalgebras are categories with full projective functors. As an application we prove that in many cases the endomorphism algebra of the basic...

Singular localization of 𝔤 -modules and applications to representation theory

Erik Backelin, Kobi Kremnitzer (2015)

Journal of the European Mathematical Society

We prove a singular version of Beilinson–Bernstein localization for a complex semi-simple Lie algebra following ideas from the positive characteristic case settled by [BMR06]. We apply this theory to translation functors, singular blocks in the Bernstein–Gelfand–Gelfand category O and Whittaker modules.

Some properties of generalized reduced Verma modules over ℤ -graded modular Lie superalgebras

Keli Zheng, Yongzheng Zhang (2017)

Czechoslovak Mathematical Journal

We study some properties of generalized reduced Verma modules over ℤ -graded modular Lie superalgebras. Some properties of the generalized reduced Verma modules and coinduced modules are obtained. Moreover, invariant forms on the generalized reduced Verma modules are considered. In particular, for ℤ -graded modular Lie superalgebras of Cartan type we prove that generalized reduced Verma modules are isomorphic to mixed products of modules.

Super boson-fermion correspondence

Victor G. Kac, J. W. Van de Leur (1987)

Annales de l'institut Fourier

We establish a super boson-fermion correspondence, generalizing the classical boson-fermion correspondence in 2-dimensional quantum field theory. A new feature of the theory is the essential non-commutativity of bosonic fields. The superbosonic fields obtained by the super bosonization procedure from super fermionic fields form the affine superalgebra g ˜ l 1 | 1 . The converse, super fermionization procedure, requires introduction of the super vertex operators. As applications, we give vertex operator constructions...

Sur la représentation adjointe d'une algèbre de Lie libre. II

Alexandros Patsourakos (1994)

Annales de l'institut Fourier

Soit N le noyau de l’application Γ de l’idéal d’augmentation de l’algèbre enveloppante de L ( X ) sur L ( X ) , l’algèbre de Lie libre sur X , définie par Γ ( x 1 ... x n ) = [ ... [ x n - 1 , x n ] ... ] ] pour x 1 , ... , x n ∈ X . Si L ( X ) est munie de la représentation adjointe, alors un ensemble de générateurs de N comme module sur l’algèbre enveloppante est déterminé en termes des ensembles de Hall relatifs à X .

Sur les représentations de dimension finie de la super algèbre de Lie 𝔤𝔩 ( m , n )

Caroline Gruson (2005/2006)

Séminaire Bourbaki

La catégorie des modules de dimension finie sur la super algèbre de Lie 𝔤𝔩 ( m , n ) n’est pas semi-simple. Elle se décompose en une infinité de blocs, dont on cherche depuis les travaux de Kac en 1977 à comprendre la structure. Vera Serganova apporte une réponse presque complète à ce problème, formulée selon le cercle d’idées introduites par Bernstein, Gelfand et Gelfand pour étudier la catégorie 𝒪 dans le cas classique ; ne disposant pas pour 𝔤𝔩 ( m , n ) d’analogues des théorèmes de Kostant et de Borel-Weil-Bott,...

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