This paper presents a classification of plane dicritical nilpotent singularities, i.e. singularities which have nilpotent linear part and infinitely many separatrices. In particular the existence of meromorphic first integrals is discussed. The same ideas are applied to other kind of dicritical singularities.

L’article est consacré aux objets locaux (germes de champs de vecteurs ou difféomorphismes) analytiques en toute dimension et spécialement à l’interaction entre les deux principales difficultés qui viennent compliquer leur étude: petits diviseurs et résonance. On introduit la technique d’arborification, qui permet d’étudier systématiquement l’influence des petits diviseurs diophantiens, puis on rappelle la définition des fonctions et monômes résurgents, indispensables dans tout contexte où intervient...

We study germs of singular holomorphic vector fields at the origin of ${ℂ}^n$ of which the linear part is $1$-resonant and which have a polynomial normal form. The formal normalizing diffeomorphism is usually divergent at the origin but there exists holomorphic diffeomorphisms in some “sectorial domains” which transform these vector fields into their normal form. In this article, we study the interplay between the small divisors phenomenon and the Gevrey character of the sectorial normalizing diffeomorphisms....

One can associate several residue-type indices to a singular point of a two-dimensional holomorphic vector field. Some of these indices depend also on the choice of a separatrix at the singular point. We establish some relations between them, especially when the singular point is a generalized curve and the separatrix is the maximal one. These local results have global consequences, for example concerning the construction of logarithmic forms defining a given holomorphic foliation.

We show that the singular holomorphic foliations induced by dominant quasi-homogeneous rational maps fill out irreducible components of the space ${ℱ}_q(r,d)$ of singular foliations of codimension $q$ and degree $d$ on the complex projective space ${\mathbb{P}}^r$, when $1\le q\le r-2$. We study the geometry of these irreducible components. In particular we prove that they are all rational varieties and we compute their projective degrees in several cases.

On démontre que dans toute surface rationnelle, non-isomorphe au plan projectif, il existe une feuilletage analytique rigide, possédant des feuilles algébriques et n’ayant que des singularités isolées.

On démontre l’énoncé classique du théorème de décomposition de la polaire générique dans le contexte maximal des feuilletages courbes généralisées à modèle logarithmique non résonnant. On montre aussi la propriété d’éloignement des séparatrices pour le feuilletage polaire.

Let F be a codimension one holomorphic foliation whose singular set Σ is contained in a compact leaf S of F.When F is of dimension one, Σ is a set of isolated points {q1, ..., qr}, C. Camacho and P. Sad define the index of F at each point qk and prove that the sum of these indices equals the Euler class c1(E) of the fibre bundle E normal to S.Generally, whenever Σ is of any dimension m, we can define a such index iα along the maximal dimension strates {Σα} of a suitable stratification of the complex...

Dans cet article nous étudions les feuilletages holomorphes réduits en dimension complexe 2. Plus précisément, nous caractérisons par leur espace de module analytique, ceux qui sont transversalement projectifs en dehors d'un sous-ensemble analytique propre. Ceci entraî ne que cette classe de feuilletages est obtenue par pull-back d'équations de Riccati. Nous montrons enfin que cette dernière propriété peut être mise en défaut dans le cas non réduit.

0n se donne une variété complexe $V$, compacte, de dimension complexe $n$, un champ de vecteurs $v$ holomorphe sur $V$, un fibré vecoriel $E$ de rang $r$ au dessus de $V$ et une $ℂ$-action ${\theta }_v$ sur $E$. Il est bien connu que si $v$ n’a pas de singularité, tous les nombres de Chern $c_I\left(E\right)⌢\left[V\right]$ sont nuls ($\left|I\right|=n$). Si $v$ a des singularités, Bott a démontré que ces nombres de Chern se localisent près de ces singularités donnant lieu à des résidus . Ces résidus ont été calculés d’abord par Bott dans le cas d’une singularité isolée non dégénérée,...

Nous étudions des feuilletages Levi-plats dont la partie complexe est un feuilletage holomorphe ayant une singularité isolée en l’origine de ${ℂ}^2$. Nous montrons que, si la partie complexe est non dégénérée après un éclatement, alors le feuilletage Levi-plat et sa partie complexe sont chacun décrits par une intégrale première submersive sauf en l’origine.

We confirm a conjecture of Bernstein–Lunts which predicts that the characteristic variety of a generic polynomial vector field has no homogeneous involutive subvarieties besides the zero section and subvarieties of fibers over singular points.

Let $M$ be a two-dimensional complex manifold and $f:M\to M$ a holomorphic map. Let $S\subset M$ be a curve made of fixed points of $f$, i.e. $\mathrm{Fix}\left(f\right)=S$. We study the dynamics near $S$ in case $f$ acts as the identity on the normal bundle of the regular part of $S$. Besides results of local nature, we prove that if $S$ is a globally and locally irreducible compact curve such that $S·S\<0$ then there exists a point $p\in S$ and a holomorphic $f$-invariant curve with $p$ on the boundary which is attracted by $p$ under the action of $f$. These results are achieved...

On peut construire facilement des exemples de connexions plates de rang $2$ sur ${\mathbb{P}}^2$ comme tirés en arrière de connexions sur ${\mathbb{P}}^1$. On donne un exemple de connexion qui ne peut être obtenue de cette manière. Cet exemple est construit à partir d’une solution algébrique de l’équation de Painlevé VI. On en déduit un feuilletage modulaire. La preuve de ce fait repose sur la classification des feuilletages sur les surfaces projectives par leurs dimensions de Kodaira, fruit du travail de Brunella, McQuillan et...