We give an exact formula for the $L_2$ discrepancy of a class of generalized two-dimensional Hammersley point sets in base $b$, namely generalized Zaremba point sets. These point sets are digitally shifted Hammersley point sets with an arbitrary number of different digital shifts in base $b$. The Zaremba point set introduced by White in 1975 is the special case where the $b$ shifts are taken repeatedly in sequential order, hence needing at least $b^b$ points to obtain the optimal order of $L_2$ discrepancy. On the...

We give a combinatorial interpretation for the positive moments of the values at the edge of the critical strip of the $L$-functions of modular forms of $GL\left(2\right)$ and $GL\left(3\right)$. We deduce some results about the asymptotics of these moments. We extend this interpretation to the moments twisted by the eigenvalues of Hecke operators.

Dick proved that all dyadic order 2 digital nets satisfy optimal upper bounds on the $L_p$-discrepancy. We prove this for arbitrary prime base b with an alternative technique using Haar bases. Furthermore, we prove that all digital nets satisfy optimal upper bounds on the discrepancy function in Besov spaces with dominating mixed smoothness for a certain parameter range, and enlarge that range for order 2 digital nets. The discrepancy function in Triebel-Lizorkin and Sobolev spaces with dominating mixed...

We characterize statistical independence of sequences by the $L^p$-discrepancy and the Wiener $L^p$-discrepancy. Furthermore, we find asymptotic information on the distribution of the $L^2$-discrepancy of sequences.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty }$ du zéro en $s=1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty }=0$ ou $1$, mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty }$ et $r$ si $r_{\infty }\ge 2$. Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$$p$-adique attachée à $E$ a, en $s=1$, un...

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0\<\left|s\right|\le q$, on ait $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[-q,q\right]$, on ait $n+s=l{t}_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[1,2q+1\right]$. La lecture non standard...

Following the line of attack of La Bretèche, Browning and Peyre, we prove Manin's conjecture in its strong form conjectured by Peyre for a family of Châtelet surfaces which are defined as minimal proper smooth models of affine surfaces of the form Y² - aZ² = F(X,1), where a = -1, F ∈ ℤ[x₁,x₂] is a polynomial of degree 4 whose factorisation into irreducibles contains two non-proportional linear factors and a quadratic factor which is irreducible over ℚ [i]. This result...

La conjecture dit qu’une représentation continue irréductible impaire du groupe de Galois de $Q$ dans un espace vectoriel de dimension $2$ sur un corps fini $F$ de caractéristique $p$ provient d’une forme modulaire. C. Khare vient de la prouver pour les représentations qui sont non ramifiées hors de $p$.