On caractérise les puissances -ièmes dans un corps quadratique réel et dans à l’aide des polynômes de Dickson. Ces mêmes polynômes sont utilisés pour obtenir des renseignements sur l’indice du groupe des unités d’un ordre non-maximal dans le groupe de toutes les unités d’un corps quadratique réel. Le texte est détaillé et élémentaire.
Considérons le cardinal de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de , où est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des , où est pseudo-premier d’ordre . On...
We explain a variant of the Fiat-Shamir identification and signature protocol that is based on the intractability of computing generators of principal ideals in algebraic number fields. We also show how to use the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics for class groups to construct number fields in which computing generators of principal ideals is intractable.
We find all possible cycle-lengths for polynomial mappings in two variables over rings of integers in quadratic extensions of rationals.