Soit $\underline{s}=(s_1,\cdots ,s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k\ge 1.$ Pour $s_1\ge 2$, la série$$\sum _{n_1\>\cdots \>n_k\ge 1}{n}_1^{-s_k}\cdots n_k^{-s_k}$$converge et sa somme est notée $\zeta \left(\underline{s}\right)$. Dans le cas $k=1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta \left(s^{\text{'}}\right)\zeta \left(s^{\text{'}\text{'}}\right)$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta \left(\underline{s}\right)$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta \left(\underline{s}\right)$ est...