We give a combinatorial interpretation for the positive moments of the values at the edge of the critical strip of the $L$-functions of modular forms of $GL\left(2\right)$ and $GL\left(3\right)$. We deduce some results about the asymptotics of these moments. We extend this interpretation to the moments twisted by the eigenvalues of Hecke operators.

Assuming the Riemann Hypothesis we show that there exist infinitely many consecutive zeros of the Riemann zeta-function whose gaps are greater than 2.9 times the average spacing.

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha \<2$ et...

We discuss the notion of a “Level of Distribution” in two settings. The first deals with primes in progressions, and the role this plays in Yitang Zhang’s theorem on bounded gaps between primes. The second concerns the Affine Sieve and its applications.

J’exposerai ici quelques résultats récents (obtenus en collaboration avec C. Consani [3], [4], [5], [6]) qui portent sur le cas limite de la “caractéristique $1$”. Le but principal est de montrer que l’espace des classes d’adèles d’un corps global, qui jusqu’à présent n’a été considéré que comme un espace (non-commutatif), admet en fait une structure algébrique naturelle. Nous verrons également que la construction de l’anneau de Witt d’un anneau de caractéristique $p\>1$ admet un analogue en caractéristique...

Xian-Jin Li gave a criterion for the Riemann hypothesis in terms of the positivity of a set of coefficients ${\lambda }_n$$(n=1,2,...$

A limit theorem in the space of continuous functions for the Dirichlet polynomial$$\sum _{m\le T}\frac{d_{{\kappa }_T}\left(m\right)}{m^{{\sigma }_T+it}}$$where $d_{{\kappa }_T}\left(m\right)$ denote the coefficients of the Dirichlet series expansion of the function ${\zeta }^{{\kappa }_T}\left(s\right)$ in the half-plane $\sigma \>1$${\kappa }_T=...$

A limit theorem in the sense of the weak convergence of probability measures in the space of meromorphic functions for the Estermann zeta-function is obtained.

In this paper two weighted functional limit theorems for the function introduced by K. Matsumoto are proved.