Let be a number field containing, for some prime , the -th roots of unity. Let be a Kummer extension of degree of characterized by its modulus and its norm group. Let be the compositum of degree extensions of of conductor dividing . Using the vector-space structure of , we suggest a modification of the rnfkummer function of PARI/GP which brings the complexity of the computation of an equation of over from exponential to linear.
We prove that there are only finitely many positive integers such that there is some integer such that is 1 or a prime for all , thus solving a problem of Byeon and Stark.
Soit un corps de nombres et soient et deux ensembles finis de places de ; on peut définir la tour de Hilbert de , -ramifiée modérée, -décomposée. Ceci permet d’obtenir, par exemple, la notion de tour de Hilbert au sens classique et de tour de Hilbert au sens restreint. On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à partir d’un résultat d’Odlyzko, puis d’autre part deux critères de non-finitude, le premier étant une conséquence d’un résultat...
Nous montrons des raffinements -adique et “caractères par caractères” de la formule d’indice de Sinnott pour un corps abélien totalement réel. De tels raffinements ont aussi été obtenus par Kuz’min avec des méthodes différentes (voir les commentaires en introduction). Nous donnons des applications à la théorie d’Iwasawa des unités semi- locales et cyclotomiques.