Étant donné un corps de nombres $K$ et un nombre premier $p$, soit ${𝒯}_K$ le sous-module de ${\mathbf{Z}}_p$-torsion du groupe de Galois de la $p$-extension abélienne $p$-ramifiée maximale de $K$. On se propose d’étudier la structure de module galoisien de ${𝒯}_K$. Si $K$ vérifie la conjecture de Leopoldt, ${𝒯}_K$ contient un sous-module formé des racines $p$-primaires de l’unité semi-locales quotientées par les racines $p$-primaires de l’unité globales, et le quotient de ${𝒯}_K$ par ce sous-module peut s’interpréter de deux façons : soit comme les...

On présente deux résultats nouveaux concernant la racine carrée de la codifférente d’une extension faiblement ramifiée de $\mathbb{Q}$. Le premier, relatif à sa structure galoisienne, s’inscrit dans la stratégie classique développée notamment par Fröhlich et Taylor. Le second, qui concerne le réseau entier unimodulaire associé, est prouvé à l’aide de calculs numériques portant sur des exemples intéressants.

Soit $K$ un corps de nombres galoisien sur $\mathbb{Q}$ de degré impair, et soit $G$ son groupe de Galois. Alors il existe un unique idéal fractionnaire de $K$ qui soit unimodulaire pour la forme quadratique ${Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)$. Cet idéal est la racine carrée de la codifférente, et est noté $A_K$. Dans cet article, on décrit un représentant explicite de la classe de $\mathbb{Z}\left[G\right]$-isométrie du couple $(A_K,{Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2\left)\right)$, ne dépendant que des nombres premiers $p$ sauvagement ramifiés dans $K$, et dont le degré de ramification est différent de $p$.

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$....