La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre du zéro en de la fonction d’une courbe elliptique définie sur est égal au rang du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si ou , mais on n’a aucun résultat reliant et si . Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction -adique attachée à a, en , un...
On montre sous quelles conditions un élément analytique -adique peut être décomposé sous forme d’un produit de facteurs dont chacun est un élément analytique dans le complémentaire d’un disque.
Soit un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel . Lorsque est fini, la structure de a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où est parfait de caractéristique positive . Les résultats principaux sont : est -divisible pour assez grand (explicite); le groupe de Milnor est discret, explicitement déterminé ; n’a pas de torsion première à , et sa -torsion est explicitement déterminée. On obtient...
Ce texte est consacré au système d’Euler de Kato, construit à partir des unités modulaires, et à son image par l’application exponentielle duale (loi de réciprocité explicite de Kato). La présentation que nous en donnons est sensiblement différente de la présentation originelle de Kato.