We shortly introduce non-archimedean valued fields and discuss the difficulties in the corresponding theory of analytic functions. We motivate the need of $p$-adic cohomology with the Weil Conjectures. We review the two most popular approaches to $p$-adic analytic varieties, namely rigid and Berkovich analytic geometries. We discuss the action of Frobenius in rigid cohomology as similar to the classical action of covering transformations. When rigid cohomology is parametrized by twisting characters,...

Soit $(D,\varphi )$ un isocristal devecteur de Newton$\nu \in {\left({\mathbb{Q}}^d\right)}_{+}$. On associe à une filtration ${ℱ}^{•}$ de $D$ sonvecteur de Hodge$\mu \left({ℱ}^{•}\right)\in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$. Si ${ℱ}^{•}$ estadmissible (i.e. $(D,\varphi ,{ℱ}^{•})$ est faiblement admissible en tant qu’isocristal filtré), alors $\mu \left({ℱ}^{•}\right)\ge \nu$. Réciproquement, on démontre qu’étant donné $\mu \in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$ avec $\mu \ge \nu$, il existe une filtration admissible ${ℱ}^{•}$ de $D$ avec $\mu =\mu \left({ℱ}^{•}\right)$. On en déduit, à l’aide d’un théorème de Laffaille, l’existence d’un réseau $M$ dans $D$ de type $\mu$. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.

Dans cet article nous présentons la théorie des équations différentielles $p$-adiques et ses applications concernant le théorème de finitude de la cohomologie $p$-adique d’une variété affine et le théorème de la monodromie $p$-adique des représentations galoisiennes locales.