We classify quartic del Pezzo surface fibrations over the projective line via numerical invariants, giving explicit examples for small values of the invariants. For generic such fibrations, we describe explicitly the geometry of spaces of sections to the fibration, and mappings to the intermediate Jacobian of the total space. We exhibit examples where these are birational, which has applications to arithmetic questions, especially over finite fields.

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par$$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul de $J,u\left(P\right)$ et $v\left(P\right)$ sont des entiers algébriques...

On étudie différentes propriétés d’approximation pour des espaces homogènes $X$ (à stabilisateur fini) de ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps de nombres. On discute également du lien avec le problème de Galois inverse et on établit une formule pour le groupe de Brauer non ramifié de $X$.

We consider Thue equations of the form $a{x}^k+b{y}^k=1$, and assuming the truth of the abc-conjecture, we show that almost all locally soluble Thue equations of degree at least three violate the Hasse principle. A similar conclusion holds true for Fermat equations $a{x}^k+b{y}^k+c{z}^k=0$ of degree at least six.

On construit des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}\left(T\right)$ de rang au moins 3, avec un sous-groupe de torsion non trivial. Par spécialisation, des courbes elliptiques de rang 5 et 6 sur $\mathbb{Q}$ sont obtenues.

Let $K$ be a number field. Let $S$ be a finite set of places of $K$ containing all the archimedean ones. Let $R_S$ be the ring of $S$-integers of $K$. In the present paper we consider endomorphisms of ${\mathbb{P}}_1$ of degree $2$, defined over $K$, with good reduction outside $S$. We prove that there exist only finitely many such endomorphisms, up to conjugation by ${\mathrm{PGL}}_2\left(R_S\right)$, admitting a periodic point in ${\mathbb{P}}_1\left(K\right)$ of order $\>3$. Also, all but finitely many classes with a periodic point in ${\mathbb{P}}_1\left(K\right)$ of order $3$ are parametrized by an irreducible curve.

We derive a simple formula for the action of a finite crystallographic Coxeter group on the cohomology of its associated complex toric variety, using the method of counting rational points over finite fields, and the Hodge structure of the cohomology. Various applications are given, including the determination of the graded multiplicity of the reflection representation.