Let $C$ be a $\mathbb{Q}$-curve with no complex multiplication. In this note we characterize the number fields $K$ such that there is a curve $C^{\text{'}}$ isogenous to $C$ having all the isogenies between its Galois conjugates defined over $K$, and also the curves $C^{\text{'}}$ isogenous to $C$ defined over a number field $K$ such that the abelian variety Res${}_{K/\mathbb{Q}}(C^{\text{'}}/K)$ obtained by restriction of scalars is a product of abelian varieties of GL${}_2$-type.

Ce papier présente les récents progrès concernant les fonctions zêta des hauteurs associées à la conjecture de Manin. En particulier, des exemples où on peut prouver un prolongement méromorphe de ces fonctions sont détaillés.

On montre, sous certaines hypothèses un résultat en direction de la conjecture de Serre pour $GS{p}_4$ formulée dans un autre article avec F. Herzig : si la représentation résiduelle associée à une forme de Siegel de genre $2$, de niveau premier à $p$, $p$-ordinaire de poids $p$-petit, laisse stables deux droites (au lieu d’une) dans un plan lagrangien, alors cette forme possède une forme compagnon de poids prescrit. Notre méthode consiste à traduire, grâce au théorème de comparaison mod. $p$ de Faltings, l’existence...

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane $\mathscr{H}$ of a Shimura curve $X_0^D\left(N\right)$ associated with an order in a quaternion algebra $A/𝐐$. A fundamental domain for $X_0^D\left(N\right)$ realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves $X_0^6\left(1\right),X_0^{15}\left(1\right),\text{and}{X}_0^{35}\left(1\right)$. The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon....