Let $X$ be a complex manifold, $S$ a generic submanifold of $X^{\mathbb{R}}$, the real underlying manifold to $X$. Let $\mathrm{\Omega }$ be an open subset of $S$ with $\partial \mathrm{\Omega }$ analytic, $Y$ a complexification of $S$. We first recall the notion of $\mathrm{\Omega }$-tuboid of $X$ and of $Y$ and then give a relation between; we then give the corresponding result in terms of microfunctions at the boundary. We relate the regularity at the boundary for ${\overline{\partial }}_b$ to the extendability of $CR$ functions on $\mathrm{\Omega }$ to $\mathrm{\Omega }$-tuboids of $X$. Next, if $X$ has complex dimension 2, we give results on extension...

In this article we give a complete proof in one dimension of an a priori inequality involving pseudo-differential operators: if $a$ and $b$ are symbols in $S_{1,0}^2$ such that $\left|a\right|\le b$, then for all $ϵ\>0$ we have the estimate $\parallel a^{w}u{\parallel }_s^2\le C_{ϵ}(\parallel b^{w}u{\parallel }_s^2+\parallel u{\parallel }_{s+ϵ}^2)$ for all $u$ in the Schwartz space, where $\parallel {\parallel }_t$ is the usual $H_t$ norm. We use microlocalization of levels I, II and III in the spirit of Fefferman’s SAK principle.

On étudie un opérateur de la forme $-\Delta +V$ sur ${ℝ}^d$, où $V$ est un potentiel admettant plusieurs pôles en $a/r^2$. Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger....

Using a result of J.-M. Bony, we prove the weak involutivity of truncated microsupports. More precisely, given a sheaf $F$ on a real manifold and $k\in \mathbb{Z}$, if two functions vanish on ${SS}_k\left(F\right)$, then so does their Poisson bracket.

The Cauchy problem for first order system $L(t,x,{\partial }_t,{\partial }_x)$ is known to be well-posed in $L^2$ when it admits a microlocal symmetrizer $S(t,x,\xi )$ which is smooth in $\xi$ and Lipschitz continuous in $(t,x)$. This paper contains three main results. First we show that a Lipschitz smoothness globally in $(t,x,\xi )$ is sufficient. Second, we show that the existence of symmetrizers with a given smoothness is equivalent to the existence of full symmetrizers having the same smoothness. This notion was first introduced in [FL67]. This is the key point...

Sur ${ℂ}^n$ vu comme variété algébrique, soient $ℱ$ la transformation de Fourier pour les $𝒟$-modules, ${ℱ}^{+}$ la transformation de Fourier faisceautique de Brylinsky-Malgrange-Verdier, et $𝒮ol$ le foncteur “solutions”. On prouve alors que pour tout $𝒟$-module 1-spécialisable à l’infini $ℳ$, on a un isomorphisme $𝒮ol\left(ℱℳ\right)\equiv {ℱ}^{+}𝒮ol\left(ℳ\right)$. Le résultat a été conjecturé en 1988 par B. Malgrange, qui l’a prouvé pour $ℳ$ module de type fini sur l’algèbre de Weyl.