On étudie un opérateur de la forme $-\Delta +V$ sur ${ℝ}^d$, où $V$ est un potentiel admettant plusieurs pôles en $a/r^2$. Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger....

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_f$ un prolongement de la fonction $f\left(z^{-1}\right)$ à $(\mathbf{C}\setminus {\mathbf{R}}^{*}\cup \{\infty \left\}\right)$, on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant ${\mathbf{R}}^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{\lambda \>0}\parallel (I+\lambda V{)}^{-1}\parallel \<\infty$, un opérateur $H_f\left(V\right)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$. On montre que l’on a ${\sigma }^e[H_f\left(V\right)]=H_f[{\sigma }^e\left(V\right)]$ (où ${\sigma }^e$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_f$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f\ne 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_f\left(V\right)$ est un potentiel...

The behavior of the essential spectrum and the essential norm under (complex/real) interpolation is investigated. We extend an example of Albrecht and Müller for the spectrum by showing that in complex interpolation the essential spectrum ${\sigma }_e\left(S_{\left[\theta \right]}\right)$ of an interpolated operator is also in general a discontinuous map of the parameter θ. We discuss the logarithmic convexity (up to a multiplicative constant) of the essential norm under real interpolation, and show that this holds provided certain compact approximation...