The aim of the first part of a series of papers is to give a description of invariant differential operators on manifolds with an almost Hermitian symmetric structure of the type $G/B$ which are defined on bundles associated to the reducible but undecomposable representation of the parabolic subgroup $B$ of the Lie group $G$. One example of an operator of this type is the Penrose’s local twistor transport. In this part general theory is presented, and conformally invariant operators are studied in more...

Une variété lisse est une variété $C^{\infty }$ dont le fibré tangent est muni d’une structure de fibré en algèbres de Lie localement définie par un crochet de champs de vecteurs. On définit les notions de $G$-structures et de pseudo-groupe de Lie adaptées, qui recouvrent les notions usuelles de $G$-structures et pseudogroupes plats.

Pour une $G$-structure $k$-plate, on montre :1) que la nullité du tenseur de structure $c^k$ de V. Guillemin équivaut à la $(k+1)$-platitude ;2) que le fibré des $(k+1)$-repères distingués est un sous-espace fibré principal ${\mathbf{C}}^{\infty }$ de l’espace fibré principal des $(k+1)$-repères.

Le tenseur de structure à l’ordre $k$, à valeurs dans la cohomologie de Spencer $H^{2,k-1}\left(G\right)$, est défini comme cas particulier d’un formalisme très simple exprimant l’obstruction à ce que l’intersection de deux sous-fibrés principaux d’un même fibré principal se projette sur toute la base.

Soit $r\ge 1$, $n\ge 2$, et $q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,...,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,...,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. On montre en particulier qu’il existe une...