Heisenberg's picture and non commutative geometry of the semi classical limit in quantum mechanics
Impuretés dans une structure périodique
Inégalités de résolvante pour l’opérateur de Schrödinger avec potentiel multipolaire critique
On étudie un opérateur de la forme sur , où est un potentiel admettant plusieurs pôles en . Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger....
Instabilité spectrale semiclassique pour des opérateurs non-autoadjoints I : un modèle
Dans ce travail, nous considérons un opérateur différentiel simple ainsi que des perturbations. Alors que le spectre de l’opérateur non-perturbé est confiné à une droite à l’intérieur du pseudospectre, nous montrons pour les opérateurs perturbés que les valeurs propres se distribuent à l’intérieur du pseudospectre d’après une loi de Weyl.
Intervalles d'instabilité pour une équation de Hill à potentiel méromorphe
Invariant measures for the defocusing Nonlinear Schrödinger equation
We prove the existence and the invariance of a Gibbs measure associated to the defocusing sub-quintic Nonlinear Schrödinger equations on the disc of the plane . We also prove an estimate giving some intuition to what may happen in dimensions.
Isospectrality for quantum toric integrable systems
We give a full description of the semiclassical spectral theory of quantum toric integrable systems using microlocal analysis for Toeplitz operators. This allows us to settle affirmatively the isospectral problem for quantum toric integrable systems: the semiclassical joint spectrum of the system, given by a sequence of commuting Toeplitz operators on a sequence of Hilbert spaces, determines the classical integrable system given by the symplectic manifold and commuting Hamiltonians. This type of...
KAM Tori and Quantum Birkhoff Normal Forms
This talk is concerned with the Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) theorem in Gevrey classes for analytic hamiltonians, the effective stability around the corresponding KAM tori, and the semi-classical asymptotics for Schrödinger operators with exponentially small error terms. Given a real analytic Hamiltonian close to a completely integrable one and a suitable Cantor set defined by a Diophantine condition, we find a family , of KAM invariant tori of with frequencies which is Gevrey smooth with...
La méthode de moyennisation en mécanique semi-classique
Large- expansion method for two-body Dirac equation.
Le papillon de Hofstadter revisité
Liens entre les résonances pour l'opérateur de Dirac et de Schrödinger
Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans : un modèle semi-classique
Dans , nous démontrons un résultat de localisation exponentielle pour un opérateur de Schrödinger semi-classique à potentiel périodique perturbé par de petites perturbations aléatoires indépendantes identiquement distribuées placées au fond de chaque puits. Pour ce faire, on montre que notre opérateur, restreint à un intervalle d’énergie convenable, est unitairement équivalent à une matrice aléatoire infinie dont on contrôle bien les coefficients. Puis, pour ce type de matrices, on prouve un résultat...
Mesures semi-classiques et croisement de modes
Metodi variazionali e topologici nello studio delle equazioni di Schrödinger nonlineari agli stati stazionari
In the present paper we survey some recents results concerning existence of semiclassical standing waves solutions for nonlinear Schrödinger equations. Furthermore, from Maxwell's equations we derive a nonlinear Schrödinger equation which represents a model of propagation of an electromagnetic field in optical waveguides.
Microlocalization of resonant states and estimates of the residue of the scattering amplitude
We obtain some microlocal estimates of the resonant states associated to a resonance of an -differential operator. More precisely, we show that the normalized resonant states are
Non-commutative mechanics in mathematical and in condensed matter physics.
Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds
We prove two new results about the Cauchy problem in the energy space for nonlinear Schrödinger equations on four-dimensional compact manifolds. The first one concerns global well-posedness for Hartree-type nonlinearities and includes approximations of cubic NLS on the sphere as a particular case. The second one provides, in the case of zonal data on the sphere, local well-posedness for quadratic nonlinearities as well as a necessary and sufficient condition of global well-posedness for small energy...
Non-trapping condition for semiclassical Schrödinger operators with matrix-valued potentials.
Numerical aspects of the nonlinear Schrödinger equation in the semiclassical limit in a supercritical regime
We study numerically the semiclassical limit for the nonlinear Schrödinger equation thanks to a modification of the Madelung transform due to Grenier. This approach allows for the presence of vacuum. Even if the mesh size and the time step do not depend on the Planck constant, we recover the position and current densities in the semiclassical limit, with a numerical rate of convergence in accordance with the theoretical results, before shocks appear in the limiting Euler equation. By using simple...