We give a combinatorial interpretation for the positive moments of the values at the edge of the critical strip of the $L$-functions of modular forms of $GL\left(2\right)$ and $GL\left(3\right)$. We deduce some results about the asymptotics of these moments. We extend this interpretation to the moments twisted by the eigenvalues of Hecke operators.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty }$ du zéro en $s=1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty }=0$ ou $1$, mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty }$ et $r$ si $r_{\infty }\ge 2$. Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$$p$-adique attachée à $E$ a, en $s=1$, un...

La conjecture dit qu’une représentation continue irréductible impaire du groupe de Galois de $Q$ dans un espace vectoriel de dimension $2$ sur un corps fini $F$ de caractéristique $p$ provient d’une forme modulaire. C. Khare vient de la prouver pour les représentations qui sont non ramifiées hors de $p$.

Dans ce texte, nous déterminons explicitement les idéaux premiers différentiellement stables dans l’anneau des formes quasi-modulaires pour ${\mathbf{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$. Les techniques introduites permettent de préciser des résultats de Nesterenko dans [5] et [6].

We prove formulas for the generating functions for $M_2$-rank differences for partitions without repeated odd parts. These formulas are in terms of modular forms and generalized Lambert series.

Let $K/\mathbb{Q}$ be a nonnormal cubic extension which is given by an irreducible polynomial $g\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Denote by ${\zeta }_K\left(s\right)$ the Dedekind zeta-function of the field $K$ and $a_K\left(n\right)$ the number of integral ideals in $K$ with norm $n$. In this note, by the higher integral mean values and subconvexity bound of automorphic $L$-functions, the second and third moment of $a_K\left(n\right)$ is considered, i.e., $$\sum _{n\le x}{a}_K^2\left(n\right)=x{P}_1(logx)+O\left(x^{5/7+ϵ}\right),\sum _{n\le x}{a}_K^3\left(n\right)=x{P}_4(logx)+O\left(X^{321/356+ϵ}\right),$$ where $P_1\left(t\right)$, $P_4\left(t\right)$ are polynomials of degree 1, 4, respectively, $ϵ>0$ is an arbitrarily small number.