Some results on algebraic independence. (Quelques résultats d'indépendance algébrique.)
Soient une courbe algébrique affine de définie sur , et un point de qui n’est pas algébrique. On démontre l’existence d’une infinité de “bonnes” approximations de par des points algébriques de de degré et taille bornés, les majorants du degré et de la taille étant choisis à l’intérieur de suites satisfaisant certaines conditions de croissance modérée. On établit aussi une minoration du degré de ces bonnes approximations, raffinant ainsi un résultat de Wirsing. Comme corollaire, nous...
On démontre une formule d’interpolation pour une fonction de deux variables complexes qui tient compte des valeurs de cette fonction ainsi que de ses dérivées partielles par rapport à en des points d’un sous-groupe de de rang . On explique préalablement comment, dans les grandes lignes, une telle formule permet de ramener la conjecture de Schanuel à un énoncé dont la forme est celle d’un critère d’indépendance algébrique.
Étant donné un réseau et la quasi-période associée a , une mesure d’indépendance algébrique des deux nombres /, / a été donnée par G. V. Chudnovsky; mais la preuve qu’il en fait est très complexe. Dans cet article, une méthode nouvelle, utilisant principalement un lemme de zéros et un résultat général de P. Philippon, permet d’obtenir une démonstration très claire de cette mesure.