Stark’s conjectures connect special units in number fields with special values of $L$-functions attached to these fields. We consider the fundamental equality of Stark’s refined conjecture for the case of an abelian Galois group, and prove it when this group has exponent $2$. For biquadratic extensions and most others, we prove more, establishing the conjecture in full.

Étant donnée une extension galoisienne $E/\mathbf{Q}$ de groupe de Galois $G$ diédral, on montre que l’anneau $B$ des entiers de $E$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-module isomorphe à l’ordre formé des éléments de $\mathbf{Q}\left[G\right]$ qui transportent $B$ dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension $E/\mathbf{Q}$. On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre $𝔇$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}\left[G\right]$ contenant $\mathbf{Z}\left[G\right]$, d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur $𝔇$, et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes projectives...

Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\not\equiv -1\left(mod4\right)$, $d:=p_1{p}_2\cdots p_n$ et $k_n=\mathbf{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},...,\sqrt{p_n})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m\left(\sqrt{d}\right)$ pour un entier $m\<n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe de classes...

In this note we consider the index in the ring of integers of an abelian extension of a number field $K$ of the additive subgroup generated by integers which lie in subfields that are cyclic over $K$. This index is finite, it only depends on the Galois group and the degree of $K$, and we give an explicit combinatorial formula for it. When generalizing to more general Dedekind domains, a correction term can be needed if there is an inseparable extension of residue fields. We identify this correction term...

General concepts and strategies are developed for identifying the isomorphism type of the second $p$-class group $G=\mathrm{Gal}\left({\mathrm{F}}_p^2\left(K\right)\right|K)$, that is the Galois group of the second Hilbert $p$-class field ${\mathrm{F}}_p^2\left(K\right)$, of a number field $K$, for a prime $p$. The isomorphism type determines the position of $G$ on one of the coclass graphs $𝒢(p,r)$, $r\ge 0$, in the sense of Eick, Leedham-Green, and Newman. It is shown that, for special types of the base field $K$ and of its $p$-class group ${\mathrm{Cl}}_p\left(K\right)$, the position of $G$ is restricted to certain admissible branches of coclass...