We apply the Shimura reciprocity law to determine when values of modular functions of higher level can be used to generate the Hilbert class field of an imaginary quadratic field. In addition, we show how to find the corresponding polynomial in these cases. This yields a proof for conjectural formulas of Morain and Zagier concerning such polynomials.

Pour $l$ premier impair, l’étude du $l$-groupe des classes d’idéaux des extensions abéliennes de degré premier à $l$ se ramène à celle de groupes notés ${\mathbf{H}}_{\varphi }$, où $\varphi$ parcourt un certain ensemble de caractères $l$-adiques irréductibles.Il est démontré, dans cet article, une généralisation des congruences de Leopoldt et Fresnel entre les fonctions $L_{l}l$-adiques et les nombres de Bernoulli généralisés. Cette généralisation conduit à une amélioration de la connaissance des ${\mathbf{H}}_{\varphi }$ : en effet, la juxtaposition de ce résultat...

Using both class field and Kummer theories, we propose calculations of orders of two Selmer groups, and compare them: the quotient of the orders only depends on local criteria.

Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

From complex multiplication we know that elliptic units are contained in certain ray class fields over a quadratic imaginary number field $K$, and Ramachandra [3] has shown that these ray class fields can even be generated by elliptic units. However the generators constructed by Ramachandra involve very complicated products of high powers of singular values of the Klein form defined below and singular values of the discriminant $\Delta$. It is the aim of this paper to show, that in many cases a generator...

Soit $k$ une extension algébrique du corps des nombres rationnels, galoisienne et de degré premier $\ell$. Si ${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_{\ell -1}$ désignent des éléments primitifs conjugués de $k$, on note $\overline{{\theta }_{u,j}}$, $j=1,2,...,\ell -1$, leurs résolvantes de Lagrange. Les nombres ${\mu }_j={\overline{{\theta }_{u,j}}}^{\ell }$ sont des éléments primitifs conjugués du corps $C\left(\ell \right)$ des racines $\ell$-ièmes de l’unité.La première partie est consacrée à la caractérisation de ces $\mu$, on en déduit une paramétrisation des polynômes abéliens de degré $\ell$. On s’intéresse ensuite aux ${\mu }_j$ associés à des éléments ${\theta }_u$ entiers, ce qui permet...

Nous déterminons tous les corps diédraux à multiplication complexe de nombres de classes relatif un, puis ceux de nombre de classes un : il y a 32 tels corps non-abéliens principaux. C’est le premier exemple, dans ce cadre assez général, de résolution du problème de nombre de classes un pour les corps galoisiens à multiplication complexe avec un type de groupe de Galois non-abélien fixé.