We present the notion of scattering monodromy for a two degree of freedom hyperbolic oscillator and apply this idea to determine the Picard-Lefschetz monodromy of the isolated singular point of a quadratic function of two complex variables.

Let $𝒰$ be an open neighborhood of the origin in ${ℂ}^{n+1}$ and let $f:(𝒰,\mathbf{0})\to (ℂ,0)$ be complex analytic. Let $z_0$ be a generic linear form on ${ℂ}^{n+1}$. If the relative polar curve ${\Gamma }_{f,z_0}^1$ at the origin is irreducible and the intersection number $({\Gamma }_{f,z_0}^1{·V\left(f\right))}_{\mathbf{0}}$ is prime, then there are severe restrictions on the possible degree $n$ cohomology of the Milnor fiber at the origin. We also obtain some interesting, weaker, results when $({\Gamma }_{f,z_0}^1{·V\left(f\right))}_{\mathbf{0}}$ is not prime.

Soit un germe de fonction analytique $f:({\mathbf{R}}^{n+1},0)\to (\mathbf{R},0)$, $n\ge 1$ à singularité isolée en $0\in {\mathbf{R}}^{n+1}$. Nous nous proposons d’étudier le développement asymptotique des intégrales de formes $C_c^{\infty }$, de degré $n$, sur les fibres de $f$. Nous montrons que ces développements asymptotiques peuvent être décrits à partir de l’action de la monodromie sur le groupe $H^n$ de la fibre de Milnor complexe.

For a holomorphic function on a complex manifold, we show that the vanishing cohomology of lower degree at a point is determined by that for the points near it, using the perversity of the vanishing cycle complex. We calculate this order of vanishing explicitly in the case the hypersurface has simple normal crossings outside the point. We also give some applications to the size of Jordan blocks for monodromy.

*Research partially supported by INTAS grant 97-1644.Consider the Deligne-Simpson problem: give necessary and sufficient conditions for the choice of the conjugacy classes Cj ⊂ GL(n,C) (resp. cj ⊂ gl(n,C)) so that there exist irreducible (p+1)-tuples of matrices Mj ∈ Cj (resp. Aj ∈ cj) satisfying the equality M1 . . .Mp+1 = I (resp. A1+. . .+Ap+1 = 0). The matrices Mj and Aj are interpreted as monodromy operators and as matrices-residua of fuchsian systems on Riemann’s sphere. We give new examples...

We introduce a spectrum for arbitrary subvarieties. This generalizes the definition by Steenbrink for hypersurfaces. In the isolated complete intersection singularity case, it coincides with the one given by Ebeling and Steenbrink except for the coefficients of integral exponents. We show a relation to the graded pieces of the multiplier ideals by using the filtration V of Kashiwara and Malgrange. This implies a partial generalization of a theorem of Budur in the hypersurface case. The key point...

L’objectif de cet article est de mettre en place, dans le cadre de fonctions à lieu singulier de dimension 1, avec des hypothèses assez restrictives mais donnant accès à beaucoup d’exemples non triviaux, l’analogue de la théorie de E.Brieskorn pour une fonction à singularité isolée. Les principaux résultats sont le théorème de finitude pour le $(a,b)$-module associé à l’origine, qui est obtenu via le théorème de constructibilité de M. Kashiwara, et les résultats de non torsion pour une courbe plane (non...

Dans cet article nous étudions les feuilletages holomorphes réduits en dimension complexe 2. Plus précisément, nous caractérisons par leur espace de module analytique, ceux qui sont transversalement projectifs en dehors d'un sous-ensemble analytique propre. Ceci entraî ne que cette classe de feuilletages est obtenue par pull-back d'équations de Riccati. Nous montrons enfin que cette dernière propriété peut être mise en défaut dans le cas non réduit.

Dans notre article [6] nous avons construit, pour une classe assez large de germes de fonctions holomorphes $f:({ℂ}^{n+1},0)\to (ℂ,0)$ à lieu singulier $S:=\{df=0\}$ de dimension 1 des invariants analytiques qui généralisent le réseau de Brieskorn d’un germe à singularité isolée. Dans cet article nous montrons que les résultats que nous avions obtenus s’étendent àtous les germes à lieu singulier de dimension 1 sans autre restriction. Ces invariants, essentiellement donnés par des (a,b)-modules géométriques, (objet qui est une abstraction...