En utilisant la version de Spencer-Goldschmidt du théorème de Cartan-Kähler nous étudions les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un système d’équations différentielles ordinaires du second ordre soit le système d’Euler-Lagrange associé à un lagrangien régulier. Dans la thèse de Z. Muzsnay cette technique a été déjà appliquée pour donner une version moderne du papier classique de Douglas qui traite le cas de la dimension 2. Ici nous considérons le cas où la dimension est arbitraire, nous...

Dans cette article on décrit le spectre semi-classique d’un opérateur de Schrödinger sur $ℝ$ avec un potentiel type double puits. La description qu’on donne est celle du spectre autour du maximum local du potentiel. Dans la classification des singularités de l’application moment d’un système intégrable, le double puits représente le cas des singularités non-dégénérées de type hyperbolique.

Dans cet article on décrit le spectre semi-classique d’un opérateur de Schrödinger sur $ℝ$ avec un potentiel type double puits. La description qu’on donne est celle du spectre autour du maximum local du potentiel. Dans la classification des singularités de l’application moment d’un système intégrable, le double puits représente le cas des singularités non-dégénérées de type hyperbolique.

Le système d’évolution de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann modélise les transferts ioniques en milieu poreux saturé en prenant en compte des interactions électrocapillaires au contact du substrat. Ce modèle présente un intérêt particulier en génie civil pour étudier la dégradation par corrosion des matériaux cimentaires, à structure micro-locale périodique, sous l’effet des ions chlorures. Les techniques d’homogénéisation sont alors un outil puissant pour élaborer un modèle macroscopique équivalent...

On sait que toutes les solutions de l’équation de Navier-Stokes dans ${\mathbf{R}}^2$ dont le tourbillon est intégrable convergent lorsque $t\to \infty$ vers un écoulement autosimilaire appelé tourbillon d’Oseen. Dans cet article, nous donnons une estimation du temps nécessaire à la solution pour atteindre un voisinage du tourbillon d’Oseen à partir d’une donnée initiale arbitraire, mais bien localisée en espace. Nous obtenons ainsi une borne supérieure sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle libre, en fonction...

On étudie la fonctionnelle d’énergie de Ginzburg-Landau$$J(u,A)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|{\nabla }_A{u|}^2+|h-h_{ex}{|}^2+\frac{{\kappa }^2}{2}{(1-|u|}^2{)}^2,$$qui modélise les supraconducteurs cylindriques soumis à un champ magnétique extérieur $h_{ex}$, dans l’asymptotique $\kappa \to \infty$. On trouve et on décrit des branches de solutions stables des équations associées. On a une estimation sur la valeur critique $H_{c_1}\left(\kappa \right)$ de $h_{ex}$ correspondant à une «transition de phase» où des vortex (c.à.d. zéros de $u$) deviennent énergétiquement favorables. On obtient également dans le cas d’un disque, que pour $h_{ex}\le H_{c_1}$ comme pour $h_{ex}\ge H_{c_1}$, il existe à la...

On considère le problème de Dirichlet :$$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$et$$u{|}_{\partial B}=\varphi$$où $B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^n.$Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\varphi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

L’objet de cette note est le problème de Cauchy pour l’équation de Prandtl, dans des espaces de régularité Sobolev. Nous discutons de façon synthétique des résultats récents [4], établissant le caractère fortement linéairement mal posé de ce problème.