Ce texte est tiré d’un exposé présenté au cours de la journée Paul Lévy organisée au Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires de l’Université Pierre et Marie Curie le 15 décembre 2011. L’objectif de cet exposé était de donner un aperçu des contributions de Paul Lévy à la théorie du mouvement brownien.
Je vais traiter, d’un point de vue personnel, la naissance et les premiers développements de la théorie des modèles pendant la période qui s’étend de sa naissance vers 1870, avec les travaux de Peirce, jusqu’au théorème de Morley vers 1965. J’insisterai particulièrement sur l’aspect « algèbre universelle » et j’essaierai de dégager comment la notion de définissabilité a fait évoluer cette théorie jusqu’à une science complexe pouvant apporter de nouvelles idées au reste des mathématiques.
Lorsque vers 1654 Pascal considère le triangle arithmétique, il ne se contente pas de dresser l’inventaire d’applications déjà anciennes, ni d’étendre son usage aux jeux de hasard. Son recueil de traités est aussi le lieu où se confrontent deux manières successives de résoudre les mêmes problèmes : soit par lecture du triangle, soit par des calculs dont le triangle est exclu.Or, du point de vue de la preuve, le recueil donne à voir ces solutions sans triangle comme un second mouvement, une conclusion....