Let ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ be the sequence given by $a_1=1$ and $a_n=n^{a_{n-1}}$ for $n\ge 2$. In this paper, we show that the only solution of the equation$$a_1+\cdots +a_n=m^l$$is in positive integers $l\>1,m$ and $n$ is $m=n=1$.

Soit $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ par un modèle de Weierstrass généralisé :$$y^2+A_{1}xy+A_{3}y=x^3+A_2{x}^2+A_{4}x+A_6;A_i\in \mathbb{Z}.$$Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme :$$mM=\left(\frac{{\phi }_m\left(M\right)}{{\psi }_n^2\left(m\right)},\frac{{\omega }_m\left(M\right)}{{\psi }_m^3\left(M\right)}\right)=\left(\frac{{\widehat{\phi }}_m}{d^2{\widehat{\psi }}_m^2},\frac{{\widehat{\omega }}_m}{d^3{\widehat{\psi }}_m^3}\right),$$où ${\phi }_m,\psi \_m,{\omega }_m\in \mathbb{Z}[A_1,\cdots ,A_6,x,y]$ et ${\widehat{\phi }}_m$, ${\widehat{\psi }}_m$, ${\widehat{\omega }}_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$.Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M\left(\mathrm{mod}p\right)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $\left({\widehat{\psi }}_m\right)$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r=r\left(p\right)$ et soit ${\nu }_p({\widehat{\psi }}_r)=e_0\ge 1$. Nous montrons que la suite $\left({\widehat{\psi }}_m\right)$...

We demonstrate the Batyrev-Manin Conjecture for the number of points of bounded height on hypersurfaces of some toric varieties whose rank of the Picard group is 2. The method used is inspired by the one developed by Schindler for the case of hypersurfaces of biprojective spaces and by Blomer and Brüdern for some hypersurfaces of multiprojective spaces. These methods are based on the Hardy-Littlewood circle method. The constant obtained in the final asymptotic formula is the one conjectured by Peyre....