We determine the type of the zeta functions and the range of the dimensions of the moduli spaces of finite flat models of two-dimensional local Galois representations over finite fields. This gives a generalization of Raynaud’s theorem on the uniqueness of finite flat models in low ramifications.

Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique $0$, dont le corps résiduel $k_K$ est de caractéristique $p$. On suppose que $k_K$ admet une $p$-base finie. Soient $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $G_K=\mathrm{Gal}\left(\overline{K}/K\right)$. On construit et étudie des anneaux de périodes $p$-adiques ${\mathrm{B}}_{\mathrm{cris}}\subset {\mathrm{B}}_{\mathrm{dR}}$ qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel $k_K$ est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation...

On calcule le module des normes universelles pour une représentation $p$-adique de de Rham. Le calcul utilise la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules (la formule de réciprocité de Cherbonnier-Colmez) et l’équation différentielle associée à une représentation de de Rham.

Les deux résultats principaux de cette note sont d’une part que si $V$ est une représentation de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui est potentiellement trianguline, alors $V$ vérifie au moins une des propriétés suivantes (1) $V$ est trianguline déployée (2) $V$ est une somme de caractères ou une induite (3) $V$ est une représentation de de Rham tordue par un caractère, et d’autre part qu’il existe des représentations de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui ne sont pas potentiellement triangulines.