Dans cet article, nous démontrons que la mesure spectrale d’une suite multiplicative de module $\le 1$ dont le spectre de Fourier-Bohr est non vide, est atomique. La preuve, basée sur un résultat de J.-P. Bertrandias, évite le calcul de la corrélation.

Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\alpha /log2$ if α < 1 and β ≥ 0, $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $lim in{f}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$, $lim su{p}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\infty$, where $a{ⁿ}_i\left(x\right)=a_i\left(x\right)$ if $a_i\left(x\right)\le n^{\alpha }lo{g}^{\beta }n$ and $a{ⁿ}_i\left(x\right)=0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.

Nous donnons les démonstrations détaillées de résultats annoncés précédemment (dans [3]), concernant le comportement quand $N$ tend vers l’infini de la distribution des valeurs sur les entiers de 1 à $N$ d’une fonction multiplicative complexe de module $\le 1$. Nous ajoutons quelques remarques non contenues dans $[$3$]$.

Étude de l’ensemble des $x$ réels tels que $\left\{{\lambda }_{j}x\right\}$ soit une suite “mal répartie”, $\left\{{\lambda }_j\right\}$ étant une suite donnée. Si $\left\{{\lambda }_j\right\}$ est assez dense, cet ensemble est dénombrable.