Soit $1=d_1\<d_2\<\cdots \<d_r=n$ la suite croissante des diviseurs d’un entier $n$. Nous étudions ici certaines propriétés de l’ensemble des couples $(d_i,d_{i+1})$, $1\<1\le r-1$, en rapport avec la conjecture d’Erdös affirmant que l’inégalité ${min}_{i=1}^{r-1}\frac{d_{i+1}}{d_i}\le 2$ a lieu pour presque tout $n$.

Let $\tau \left(n\right)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define$$S_{\lambda }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\ge {(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \ge 1\hfill \\ Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\<{(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \<1\hfill \end{array}\right.$$It has been shown that, if we set$$f(\lambda ,x)=\frac{x}{{(logx)}^{\lambda log\lambda -\lambda +1}\sqrt{loglogx}}$$the quotient $S\lambda \left(x\right)/f(\lambda ,x)$ is bounded for $\lambda$ fixed.$$ The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $\lambda \ge 2$. For instance, when $\lambda =1/log2$, we prove$$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=0.938278681143\cdots$$and$$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=1.148126773469\cdots$$

Soit $a\left(n\right)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$. Pour étudier les grandes valeurs prises par $a\left(n\right)$, on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$, les nombres $a$-hautement composés et $a$-hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $logP\left(n\right)$ où $P\left(n\right)$ est le nombre de partitions de $n$. Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction $a\left(n\right)$.