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We begin by giving a criterion for a number field $K$ with 2-class group of rank 2 to have a metacyclic Hilbert 2-class field tower, and then we will determine all real quadratic number fields $ℚ (\sqrt{d})$ that have a metacyclic nonabelian Hilbert $2$ -class field tower.

Regular maps in generalized number systems

Jean-Paul Allouche, Klaus Scheicher, Robert Franz Tichy (2000)

Mathematica Slovaca

Relations congruentielles linéaires entre nombres de classes de corps quadratiques

Georges Gras (1989)

Acta Arithmetica

Relations entre les 2-groupes de classes d’idéaux des extensions quadratiques $k (\sqrt{d})$ et $k (\sqrt{- d})$

Bernard Oriat (1977)

Annales de l'institut Fourier

Damey et Payan ont montré que la différence des 4-rangs des groupes des classes d’idéaux des corps quadratiques $Q (\sqrt{a})$ et $Q (\sqrt{- a})$ est majorée par ( $a$ étant positif) : $0 \leq {dim}_{4} H_{Q (\sqrt{- a})} - {dim}_{4} H_{Q (\sqrt{a})} \leq 1 .$ Dans ce papier, l’auteur généralise cette propriété en remplaçant le corps de base $Q$ par un corps de nombres $k$ quelconque. La méthode employée est issue du “Spiegelungssatz” de Leopoldt.

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Rational Homology of Bianchi Groups.

Rational points on elliptic curves over Q in elementary abelian 2-extensions of Q.

Real characters of the ideal class-group and the narrow ideal class-group of Q(√d)

Real Quadratic Fields with Large Class Number.

Real Quadratic Number Fields with 2-Class Group of Type (2,2).

Real quadratic number fields with metacyclic Hilbert $2$ -class field tower

Regular maps in generalized number systems

Relations congruentielles linéaires entre nombres de classes de corps quadratiques

Relations entre les 2-groupes de classes d’idéaux des extensions quadratiques $k (\sqrt{d})$ et $k (\sqrt{- d})$

Relative norms of units and 4-rank of class groups

Representation of a prime as the sum of squares in a tower of fields.

Rings of Hilbert modular forms

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