Let $L/K$ be an abelian extension of $p$-adic fields, and let $𝒪$ denote the valuation ring of $K$. We study ideals of the valuation ring of $L$ as integral representations of the Galois group $\mathrm{Gal}(L/K)$. Assuming $K$ is absolutely unramified we use techniques from the theory of factorisability to investigate which ideals are isomorphic to an $𝒪$-order in the group algebra $K\left[\mathrm{Gal}\right(l/K\left)\right]$. We obtain several general and also explicit new results.

Soit $k$ un corps de nombres et soient $T$ et $S$ deux ensembles finis de places de $k$ ; on peut définir la tour de Hilbert de $k$, $T$-ramifiée modérée, $S$-décomposée. Ceci permet d’obtenir, par exemple, la notion de tour de Hilbert au sens classique et de tour de Hilbert au sens restreint. On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à partir d’un résultat d’Odlyzko, puis d’autre part deux critères de non-finitude, le premier étant une conséquence d’un résultat...

This paper contains an application of Langlands’ functoriality principle to the following classical problem: which finite groups, in particular which simple groups appear as Galois groups over $\mathbb{Q}$? Let $\ell$ be a prime and $t$ a positive integer. We show that that the finite simple groups of Lie type $B_n\left({\ell }^k\right)=3DS{O}_{2n+1}{\left({𝔽}_{{\ell }^k}\right)}^{der}$ if $\ell \equiv 3,5(mod8)$ and $G_2\left({\ell }^k\right)$ appear as Galois groups over $\mathbb{Q}$, for some $k$ divisible by $t$. In particular, for each of the two Lie types and fixed $\ell$ we construct infinitely many Galois groups but we do not have a precise control...