A number field $K$, with ring of integers ${𝒪}_K$, is said to be a Pólya field if the ${𝒪}_K$-algebra formed by the integer-valued polynomials on ${𝒪}_K$ admits a regular basis. In a first part, we focus on fields with degree less than six which are Pólya fields. It is known that a field $K$ is a Pólya field if certain characteristic ideals are principal. Analogously to the classical embedding problem, we consider the embedding of $K$ in a Pólya field. We give a positive answer to this embedding problem by showing that...

A number field $K$, with ring of integers ${𝒪}_K$, is said to be a Pólya field when the ${𝒪}_K$-algebra formed by the integer-valued polynomials on ${𝒪}_K$ admits a regular basis. It is known that such fields are characterized by the fact that some characteristic ideals are principal. Analogously to the classical embedding problem in a number field with class number one, when $K$ is not a Pólya field, we are interested in the embedding of $K$ in a Pólya field. We study here two notions which can be considered as measures...

Soit $K$ un corps et $K_1$ une extension quadratique de $K$. Étant donné un polynôme $P$ de $K_1\left[X\right]$ à groupe de Galois cyclique, nous donnons une méthode pour construire un polynôme $Q$ de $K\left[X\right]$ à groupe de Galois diédral, à partir des racines de $P$. Cette méthode est tout à fait explicite : nous donnons de nombreux exemples de polynômes à groupe de Galois diédral sur le corps $\mathbb{Q}$.

The fields defined by the polynomials constructed in E. Nart and the author in J. Number Theory 16, (1983), 6–13, Th. 2.1, with absolute Galois group the alternating group $A_n$, can be embedded in any central extension of $A_n$ if and only if $n\equiv 0\left(mod8\right)$, or $n\equiv 2\left(mod8\right)$ and $n$ is a sum of two squares. Consequently, for theses values of $n$, every central extension of $A_n$ occurs as a Galois group over $\mathbf{Q}$.

Soit $N/\mathbf{Q}$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $n{p}^a$ ($n$ divisant $p-1$ et $a\ge 1$) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^a$. On note $N_1$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $n{p}^{a-1}$ sur $\mathbf{Q}$, $O_N$ (resp. $O_{N_1}$) le clôture intégrale de $\mathbf{Z}$ dans $N$ (resp. $N_1$) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N/N_1$. On démontre que $O_N/O_{N_1}$ est un module localement libre sur l’anneau $A=Z\left[G\right]/v$. On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de $G$ peut être...

We give an infinite set of distinct monogenic septimic fields whose normal closure has Galois group $PSL(2,7)$.