A local analogue of the Grothendieck Conjecture is an equivalence between the category of complete discrete valuation fields $K$ with finite residue fields of characteristic $p\ne 0$ and the category of absolute Galois groups of fields $K$ together with their ramification filtrations. The case of characteristic 0 fields $K$ was studied by Mochizuki several years ago. Then the author of this paper proved it by a different method in the case $p\>2$ (but with no restrictions on the characteristic of $K$). In this paper...

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de [5] qui a pour objet d’expliciter l’action de l’inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d’une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d’un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n’est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu’elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge-Tate de $V$, au...

We show that for a local, discretely valued field $F$, with residue characteristic $p$, and a variety $𝒰$ over $F$, the map $\rho :\mathrm{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)\to \mathrm{Out}\left({\pi }_{1,\mathrm{geom}}^{\left(p^{\text{'}}\right)}\right(𝒰\left)\right)$ to the outer automorphisms of the prime to $p$ geometric étale fundamental group of $𝒰$ maps the wild inertia onto a finite image. We show that under favourable conditions $\rho$ depends only on the reduction of $𝒰$ modulo a power of the maximal ideal of $F$. The proofs make use of the theory of logarithmic schemes.

Fix $K$ a $p$-adic field and denote by $G_K$ its absolute Galois group. Let $K_{\infty }$ be the extension of $K$ obtained by adding $p^n$-th roots of a fixed uniformizer, and $G_{\infty }\subset G_K$ its absolute Galois group. In this article, we define a class of $p$-adic torsion representations of $G_{\infty }$, calledquasi-semi-stable. We prove that these representations are “explicitly” described by a certain category of linear algebraic objects. The results of this note should be considered as a first step in the understanding of the structure of quotient...

Pour un corps local à corps résiduel fini de caractéristique $p$, nous donnons quelques raffinements de la formule de masse de Serre en degré $p$ qui nous permettent de calculer par exemple la contribution des extensions cycliques, ou celles dont la clôture galoisienne a pour groupe d’automorphismes un groupe donné à l’avance, ou possède des propriétés de ramification également données à l’avance.

Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique $0$, dont le corps résiduel $k_K$ est de caractéristique $p$. On suppose que $k_K$ admet une $p$-base finie. Soient $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $G_K=\mathrm{Gal}\left(\overline{K}/K\right)$. On construit et étudie des anneaux de périodes $p$-adiques ${\mathrm{B}}_{\mathrm{cris}}\subset {\mathrm{B}}_{\mathrm{dR}}$ qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel $k_K$ est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation...

Nous construisons un complexe de représentations localement analytiques de ${\mathrm{GL}}_3\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, associé à certaines représentations semi-stables de dimension $3$ du groupe de Galois absolu de ${\mathbb{Q}}_p$. Nous montrons ensuite que l’on peut retrouver le $(\varphi ,N)$-module filtré de la représentation galoisienne en considérant les morphismes, dans la catégorie dérivée des $D\left({\mathrm{GL}}_3\left({\mathbb{Q}}_p\right)\right)$-modules, de ce complexe dans le complexe de de Rham de l’espace de Drinfel’d de dimension $2$. La preuve requiert le calcul de certains espaces de cohomologie localement...