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Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $ℓ$ tel que $v (ℓ) = 0$ , soit $F_{ℓ} \in G (Q_{ℓ})$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $ℓ$ -adique de $X$ . On montre que si $X$ a une bonne réduction ordinaire en $v$ , alors il existe $F \in G (Q)$ tel que, pour tout $ℓ$ , $F_{ℓ}$ soit conjugué à $F$ dans $G (Q_{ℓ})$ . On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$ .

Classes d'isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini

John Tate (1968/1969)

Séminaire Bourbaki

Classi differenziali e forma di Riemann

Valentino Cristante (1977)

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze

Classification des variétés de dimension 3 et plus

Hélène Esnault (1980/1981)

Séminaire Bourbaki

Classification of algebraic varieties, I

Kenji Ueno (1973)

Compositio Mathematica

Classification of Supersingular Abelian Varieties.

Ke-Zheng Li (1989)

Mathematische Annalen

Classification of Vector Bundles of Rank 2 on Hyperelliptic Curves

S. Ramanan, U.V. Desale (1976)

Inventiones mathematicae

Coates-Wiles Towers in Dimension Two.

David Grant (1988)

Mathematische Annalen

Cohomology of torus bundles over Kuga fiber varieties.

Lee, Min Ho (2008)

Beiträge zur Algebra und Geometrie

Comments on the Links Between $s u (3)$ Modular Invariants, Simple Factors in the Jacobian of Fermat Curves, and Rational Triangular Billiards

M. Bauer, A. Coste, C. Itzykson, P. Ruelle (1997)

Recherche Coopérative sur Programme n°25

Commutative rings of differential operators connected with two-dimensional Abelian varieties.

Mironov, A.E. (2000)

Siberian Mathematical Journal

Commutative rings of differential operators corresponding to multidimensional algebraic varieties.

Mironov, A.E. (2002)

Sibirskij Matematicheskij Zhurnal

Compactification de l’espace des modules des variétés abéliennes principalement polarisées

Michel Brion (2005/2006)

Séminaire Bourbaki

Les variétés abéliennes principalement polarisées admettent un espace des modules grossier qu’on sait compactifier de plusieurs façons (compactification de Satake, compactifications toroïdales). Cependant, le problème s’est posé de construire une compactification “modulaire”en termes d’objets géométriques qui permettent de décrire les points du bord. On souhaite aussi compactifier l’application de Torelli qui à chaque courbe algébrique, projective et lisse, associe sa jacobienne. L’exposé présente...

Compactification de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction

Benoît Stroh (2010)

Bulletin de la Société Mathématique de France

Nous construisons des compactifications toroïdales arithmétiques du champ de modules des variétés abéliennes principalement polarisées munies d’une structure de niveau parahorique. Pour ce faire, nous étendons la méthode de Faltings et Chai [7] à un cas de mauvaise réduction. Le voisinage du bord des compactifications obtenues n’est pas lisse, mais a pour singularités celles des champs de modules de variétés abéliennes avec structure parahorique de genre plus petit. Nous sommes amenés à reprendre...

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