This article investigates the long-time behaviour of parabolic scalar conservation laws of the type ${\partial }_{t}u+{div}_{y}A(y,u)-{\Delta }_{y}u=0$, where $y\in {ℝ}^N$ and the flux $A$ is periodic in $y$. More specifically, we consider the case when the initial data is an $L^1$ disturbance of a stationary periodic solution. We show, under polynomial growth assumptions on the flux, that the difference between u and the stationary solution behaves in $L^1$ norm like a self-similar profile for large times. The proof uses a time and space change of variables which is...

We consider the magnetic induction equation for the evolution of a magnetic field in a plasma where the velocity is given. The aim is to design a numerical scheme which also handles the divergence constraint in a suitable manner. We design and analyze an upwind scheme based on the symmetrized version of the equations in the non-conservative form. The scheme is shown to converge to a weak solution of the equations. Furthermore, the discrete divergence produced by the scheme is shown to be...

We develop a class of averaging lemmas for stochastic kinetic equations. The velocity is multiplied by a white noise which produces a remarkable change in time scale.Compared to the deterministic case and as far as we work in $L^2$, the nature of regularity on averages is not changed in this stochastic kinetic equation and stays in the range of fractional Sobolev spaces at the price of an additional expectation. However all the exponents are changed; either time decay rates are slower (when the right...

Pour un système parabolique de lois de conservation, nous considérons le problème mixte, dans le domaine $x\>0$. Pour une condition de Dirichlet, le système admet en général des solutions stationnaires $U\left(x\right)$, qui tendent vers une limite en $+\infty$. Ce sont les profils des couches limites, dans l’approximation du second ordre, pour le système hyperbolique du premier ordre sous-jacent. La stabilité de cette couche limite est liée à la stabilité linéaire asymptotique de $U$. On étudie celle-ci au moyen d’une fonction d’Evans,...

Le but de l’exposé est de présenter les résultats obtenus par S. Bianchini et A. Bressan sur le problème de Cauchy pour des perturbations visqueuses ${\partial }_t{u}^{\epsilon }+{\partial }_{x}f\left(u^{\epsilon }\right)=\epsilon {\partial }_{xx}{u}^{\epsilon }$ de systèmes strictement hyperboliques ${\partial }_{t}u+{\partial }_{x}f\left(u\right)=0$ en une dimension d’espace. Ils ont en particulier montré l’existence globale ($t\ge 0$), l’unicité et la stabilité des solutions et justifié la convergence quand $\epsilon$ tend vers zéro pour des données initiales à petite variation totale. Leur analyse montre aussi que les solutions du système hyperbolique ainsi obtenues...