Robert C. Reilly a obtenu des majorations de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. De plus, il a montré que le cas d’égalité dans ces majorations est atteint uniquement pour les sphères géodésiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de pincement pour ces majorations. Nous montrons que si le cas d’égalité est presque atteint, alors l’hypersurface est proche d’une sphère, en un sens que nous préciserons. Nous déduisons ensuite des résultats...

Let r = 3, 4, ... , ∞, ω. The Cr-Carathéodory's Conjecture states that every Cr convex embedding of a 2-sphere into R3 must have at least two umbilics. The Cr-Loewner's conjecture (stronger than the one of Carathéodory) states that there are no umbilics of index bigger than one. We show that these two conjectures are equivalent to others about planar vector fields. For instance, if r ≠ ω, Cr-Carathéodory's Conjecture is equivalent to the following one:Let ρ > 0 and β: U ⊂ R2 → R, be of class...

Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif,...

Im allgemeinen ist die relative Momentanbewegung zweier komplanarer ähnlich-veränderlicher Systeme ${\sum }_{\alpha },{\sum }_{\beta }$ als Spiralung um einen $Pol{p}_{\alpha \beta }=p_{\beta \alpha }$ aufzufassen (Abb. J.). Die bei drei Systemen ${\sum }_{\alpha },{\sum }_{\beta },{\sum }_{\gamma }$ auftretenden drei Pole $p_{\alpha \beta },p_{\alpha \gamma },p_{\beta \gamma }$ bestimmen einen $"Dreipolkreis"$