Robert C. Reilly a obtenu des majorations de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. De plus, il a montré que le cas d’égalité dans ces majorations est atteint uniquement pour les sphères géodésiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de pincement pour ces majorations. Nous montrons que si le cas d’égalité est presque atteint, alors l’hypersurface est proche d’une sphère, en un sens que nous préciserons. Nous déduisons ensuite des résultats...

Let $\Sigma$ be a closed surface, $G$ a compact Lie group, with Lie algebra $g$, and $\xi :P\to \Sigma$ a principal $G$-bundle. In earlier work we have shown that the moduli space $N\left(\xi \right)$ of central Yang-Mills connections, with reference to appropriate additional data, is stratified by smooth symplectic manifolds and that the holonomy yields a homeomorphism from $N\left(\xi \right)$ onto a certain representation space ${\mathrm{Rep}}_{\xi }(\Gamma ,G)$, in fact a diffeomorphism, with reference to suitable smooth structures $C^{\infty }\left(N\right(\xi \left)\right)$ and $C^{\infty }\left({\mathrm{Rep}}_{\xi }(\Gamma ,G)\right)$, where $\Gamma$ denotes the universal central extension of...

We generalize the Malgrange preparation theorem to matrix valued functions $F(t,x)\in C^{\infty }(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n)$ satisfying the condition that $t\mapsto \det F(t,0)$ vanishes to finite order at $t=0$. Then we can factor $F(t,x)=C(t,x)P(t,x)$ near (0,0), where $C(t,x)\in C^{\infty }$ is inversible and $P(t,x)$ is polynomial function of $t$ depending $C^{\infty }$ on $x$. The preparation is (essentially) unique, up to functions vanishing to infinite order at $x=0$, if we impose some additional conditions on $P(t,x)$. We also have a generalization of the division theorem, and analytic versions generalizing the Weierstrass preparation...

Considering jets, or functions, belonging to some strongly non-quasianalytic Carleman class on compact subsets of ${ℝ}^n$, we extend them to the whole space with a loss of Carleman regularity. This loss is related to geometric conditions refining Łojasiewicz’s “regular separation” or Whitney’s “property (P)”.

Si $f$ est un germe ${𝒞}^{\infty }$ de $({\mathbf{R}}^n,0)$, on dira que $f$ est une pseudo-immersion (on notera $f\in {\Psi }_{n,m}$) si tous les germes continus $g$ de $(\mathbf{R},0)$ dans $({\mathbf{R}}^m,0)$, tels que $f\circ g\in {𝒞}^{\infty }$ sont eux-mêmes ${𝒞}^{\infty }$. On détermine complètement ${\Psi }_{n,1}$, et on montre que ${\Psi }_{2,2}={\mathrm{Diff}}_2$. Par ailleurs, si $\mathbf{K}=\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ et si $g$ est une application de $\mathbf{K}$ dans $\mathbf{K}$ telle que $g^2$ et $g^3$ sont ${𝒞}^{\infty }$, alors $g$ est aussi ${𝒞}^{\infty }$. Si $\mathbf{K}=\mathbf{H}$ (corps des hamiloniens) alors cette implication n’est plus vraie.