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Probabilistic analysis of singularities for the 3D Navier-Stokes equations

Franco Flandoli, Marco Romito (2002)

Mathematica Bohemica

The classical result on singularities for the 3D Navier-Stokes equations says that the $1$ -dimensional Hausdorff measure of the set of singular points is zero. For a stochastic version of the equation, new results are proved. For statistically stationary solutions, at any given time $t$ , with probability one the set of singular points is empty. The same result is true for a.e. initial condition with respect to a measure related to the stationary solution, and if the noise is sufficiently non degenerate...

Probability & incompressible Navier-Stokes equations: an overview of some recent developments.

Waymire, Edward C. (2005)

Probability Surveys [electronic only]

Probing methods for saddle-point problems.

Siefert, Chris, de Sturler, Eric (2006)

ETNA. Electronic Transactions on Numerical Analysis [electronic only]

Problème de la surface libre de l'équation de Navier-Stokes —Cas stationnaire et cas périodique—

Hisao Fujita-Yashima (1985)

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze

Problème de Stokes et système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace

Raphaël Danchin, Piotr Bogusław Mucha (2008/2009)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

On s’intéresse à la résolution du système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace $ℝ_{+}^{n} : = ℝ^{n - 1} \times] 0, \infty [$ en dimension $n \geq 3 .$ On considère des données initiales à régularité critique. On établit que si la densité initiale est proche d’une constante strictement positive dans $L^{\infty} \cap {\dot{W}}^{1, n}$ et si la vitesse initiale est petite par rapport à la viscosité dans l’espace de Besov homogène ${\dot{B}}_{n, 1}^{0}$ alors le système de Navier-Stokes admet une unique solution globale. La démonstration repose sur de nouvelles estimations...

Problémes généralisés de Stokes

Amrouche, Chérif, Girault, Vivette (1992)

Portugaliae mathematica

Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations

Isabelle Gallagher (2001)

Bulletin de la Société Mathématique de France

We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in $ℝ^{3}$ , associated with sequences of initial data bounded in ${\dot{H}}^{1 / 2}$ . We prove, in the spirit of the work of H.Bahouri and P.Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in ${\dot{H}}^{1 / 2}$ , up to a remainder term small in $L^{3}$ ; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation–type argument. If $𝒜$ is an “admissible” space (in particular ...

Propagation of chaos for the 2D viscous vortex model

Nicolas Fournier, Maxime Hauray, Stéphane Mischler (2014)

Journal of the European Mathematical Society

We consider a stochastic system of $N$ particles, usually called vortices in that setting, approximating the 2D Navier-Stokes equation written in vorticity. Assuming that the initial distribution of the position and circulation of the vortices has finite (partial) entropy and a finite moment of positive order, we show that the empirical measure of the particle system converges in law to the unique (under suitable a priori estimates) solution of the 2D Navier-Stokes equation. We actually prove a slightly...

Properties of time-dependent statistical solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations

Ciprian Foias, Ricardo M. S. Rosa, Roger Temam (2013)

Annales de l’institut Fourier

This work is devoted to the concept of statistical solution of the Navier-Stokes equations, proposed as a rigorous mathematical object to address the fundamental concept of ensemble average used in the study of the conventional theory of fully developed turbulence. Two types of statistical solutions have been proposed in the 1970’s, one by Foias and Prodi and the other one by Vishik and Fursikov. In this article, a new, intermediate type of statistical solution is introduced and studied. This solution...

Pullback attractors for non-autonomous 2D MHD equations on some unbounded domains

Cung The Anh, Dang Thanh Son (2015)

Annales Polonici Mathematici

We study the 2D magnetohydrodynamic (MHD) equations for a viscous incompressible resistive fluid, a system with the Navier-Stokes equations for the velocity field coupled with a convection-diffusion equation for the magnetic fields, in an arbitrary (bounded or unbounded) domain satisfying the Poincaré inequality with a large class of non-autonomous external forces. The existence of a weak solution to the problem is proved by using the Galerkin method. We then show the existence of a unique minimal...

Qualitative Properties of Navier-Stokes Equations

R. Temam (1978)

Recherche Coopérative sur Programme n°25

Qualitative properties of the solutions to the Navier-Stokes equations for compressible fluids

Valli, Alberto (1986)

Equadiff 6

Quasisolenoidal Velocity-Pressure Finite Element Methods for the Three-Dimensional Stokes Problem.

Vitoriano Ruas (1985)

Numerische Mathematik

Quasistationary approximation in the rotating ring problem.

Pukhnachev, V.V. (2002)

Sibirskij Matematicheskij Zhurnal

Quelques remarques sur les équations de Navier-Stokes dans $ℝ^{3}$

Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset (1997/1998)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

Nous présentons un résultat d’existence globale de solutions faibles des équations de Navier-Stokes dans $ℝ^{3}$ pour des données initiales d’énergie infinie.

Quelques résultats sur les fluides en rotation

C. Foias (1974/1975)

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique)

Regular solutions of the Navier-Stokes system.

Chelkak, S., Koshelev, A., Oganesyan, L. (1997)

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics

Regular solutions of the stationary Navier-Stokes equations on ....

Michael Struwe (1995)

Mathematische Annalen

Régularité du problème de Kelvin–Helmholtz pour l’équation d’Euler 2D

Gilles Lebeau (2002)

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

Nous prouvons que pour toute solution $u$ du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l’équation d’Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de $u$ et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de $u$ sur $t = 0$ lorsque $u$ est définie sur un demi-interval $[O, T [$ .

Régularité du problème de Kelvin–Helmholtz pour l'équation d'Euler 2d

Gilles Lebeau (2010)

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

Nous prouvons que pour toute solution u du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l'équation d'Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de u et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de u sur t=0 lorsque u est définie sur un demi-interval [O,T[.

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