Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

From complex multiplication we know that elliptic units are contained in certain ray class fields over a quadratic imaginary number field $K$, and Ramachandra [3] has shown that these ray class fields can even be generated by elliptic units. However the generators constructed by Ramachandra involve very complicated products of high powers of singular values of the Klein form defined below and singular values of the discriminant $\Delta$. It is the aim of this paper to show, that in many cases a generator...

Soit $k$ une extension algébrique du corps des nombres rationnels, galoisienne et de degré premier $\ell$. Si ${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_{\ell -1}$ désignent des éléments primitifs conjugués de $k$, on note $\overline{{\theta }_{u,j}}$, $j=1,2,...,\ell -1$, leurs résolvantes de Lagrange. Les nombres ${\mu }_j={\overline{{\theta }_{u,j}}}^{\ell }$ sont des éléments primitifs conjugués du corps $C\left(\ell \right)$ des racines $\ell$-ièmes de l’unité.La première partie est consacrée à la caractérisation de ces $\mu$, on en déduit une paramétrisation des polynômes abéliens de degré $\ell$. On s’intéresse ensuite aux ${\mu }_j$ associés à des éléments ${\theta }_u$ entiers, ce qui permet...

Nous déterminons tous les corps diédraux à multiplication complexe de nombres de classes relatif un, puis ceux de nombre de classes un : il y a 32 tels corps non-abéliens principaux. C’est le premier exemple, dans ce cadre assez général, de résolution du problème de nombre de classes un pour les corps galoisiens à multiplication complexe avec un type de groupe de Galois non-abélien fixé.