Let $k$ be a finite extension of ${\mathbb{Q}}_p$, let $k_1$, respectively $k_3$, be the division fields of level $1$, respectively $3$, arising from a Lubin-Tate formal group over $k$, and let $\Gamma =$ Gal($k_3/k_1$). It is known that the valuation ring $k_3$ cannot be free over its associated order $𝔄$ in $K\Gamma$ unless $k={\mathbb{Q}}_p$. We determine explicitly under the hypothesis that the absolute ramification index of $k$ is sufficiently large.

Nous donnons une preuve que tout automorphisme sauvagement ramifié d’un corps de séries formelles à une variable et à coefficients dans un corps parfait de caractéristique $p$ provient de la construction du corps des normes d’une ${\mathbf{Z}}_p$-extension totalement ramifiée d’un corps local de caractéristique $0$ ou $p$.

Dans ce travail nous développons un analogue relatif de la théorie de Sen pour les $B_{dR}$-représentations. On donne des applications à la théorie des représentations $p$-adiques, en la reliant à la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules relatifs, et à celle des modules de Higgs $p$-adiques développée par G. Faltings.

We discuss Bernstein polynomials of reductive linear free divisors. We define suitable Brieskorn lattices for these non-isolated singularities, and show the analogue of Malgrange’s result relating the roots of the Bernstein polynomial to the residue eigenvalues on the saturation of these Brieskorn lattices.

Let $f\left(x\right)$ be a cubic, monic and separable polynomial over a field of characteristic $p\ge 3$ and let $E$ be the elliptic curve given by $y^2=f\left(x\right)$. In this paper we prove that the coefficient at $x^{\frac{1}{2}p(p-1)}$ in the $p$–th division polynomial of $E$ equals the coefficient at $x^{p-1}$ in $f{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}(p-1)}$. For elliptic curves over a finite field of characteristic $p$, the first coefficient is zero if and only if $E$ is supersingular, which by a classical criterion of Deuring (1941) is also equivalent to the vanishing of the second coefficient. So the zero loci...

Let $f\left(z\right)=z^d+a_{d-1}{z}^{d-1}+...+a_{1}z\in {ℂ}_p\left[z\right]$ be a degree d polynomial. We say f is post-critically bounded, or PCB, if all of its critical points have bounded orbit under iteration of f. It is known that if p ≥ d and f is PCB, then all critical points of f have p-adic absolute value less than or equal to 1. We give a similar result for 1/2d ≤ p < d. We also explore a one-parameter family of cubic polynomials over ℚ₂ to illustrate that the p-adic Mandelbrot set can be quite complicated when p < d, in contrast with the simple and...

Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans ${ℂ}_p\left[x\right]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout ${ℂ}_p$, linéairement indépendantes...