Let $\Gamma$ be a non-pluripolar set in ${ℂ}^N$. Let $f$ be a function holomorphic in a connected open neighborhood $G$ of $\Gamma$. Let $\left\{P_n\right\}$ be a sequence of polynomials with $deg{P}_n\le d_n(d_n\<d_{n+1})$ such that$$\underset{n\to \infty }{lim\; sup}{|f\left(z\right)-P_n\left(z\right)|}^{1/d_n}\<1,z\in \Gamma .$$We show that if$$\underset{n\to \infty }{lim\; sup}{\left|P_n\left(z\right)\right|}^{1/d_n}\le 1,z\in E,$$where $E$ is a set in ${ℂ}^N$ such that the global extremal function $V_E\equiv 0$ in ${ℂ}^N$, then the maximal domain of existence $G_f$ of $f$ is one-sheeted, and$$\underset{n\to \infty }{lim\; sup}{\parallel f-P_n\parallel }_K^{\frac{1}{d_n}}\<1$$for every compact set $K\subset G_f$. If, moreover, the sequence $\{d_{n+1}/d_n\}$ is bounded then $G_f={ℂ}^N$.If $E$ is a closed set in ${ℂ}^N$ then $V_E\equiv 0$ if and only if each series of homogeneous polynomials ${\sum }_{j=0}^{\infty }{Q}_j$, for which some subsequence $\left\{s_{n_k}\right\}$...

We prove the $L^2{(}^2)$ boundedness of the oscillatory singular integrals $P_{0}f(x,y)={\int }_{D_x}{e}^{i(M_2\left(x\right)y^{\text{'}}+M_1\left(x\right)x^{\text{'}})}over{x}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}f(x-x^{\text{'}},y-y^{\text{'}})d{x}^{\text{'}}d{y}^{\text{'}}$ for arbitrary real-valued $L^{\infty }$ functions $M_1\left(x\right),M_2\left(x\right)$ and for rather general domains $D_x{\subseteq }^2$ whose dependence upon x satisfies no regularity assumptions.

We complete the characterization of singular sets of separately analytic functions. In the case of functions of two variables this was earlier done by J. Saint Raymond and J. Siciak.

Soit $P\in ℝ[X_1,...,X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^{*n}}P(m{)}^{-s}(s\in ℂ)$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P\left(x\right)\to +\infty$ quand $\left|\right|x\left|\right|\to +\infty$ et $x\in [B,+\infty {[}^n$ et ii) $d\left(Z\right(P),[B,+\infty {[}^n)\>0$ où $Z\left(P\right)=\{z\in {ℂ}^n|P\left(z\right)=0\}$. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan...

Soient $k$ un corps commutatif et $I=(p_1,\cdots ,p_m)k_n\left[X\right]$ un idéal de l’anneau des polynômes $k[X_1,\cdots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n\left[X\right]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\overline{I}$ de l’idéal $I$, on a une représentation$$p^m=\sum _{1\le i\le m}{p}_i{q}_i,\text{avec}maxdeg\left(q_i{p}_i\right)\le mdegp+m{d}_1\cdots d_m,$$où $d_i=deg{p}_i,1\le i\le m$.

Il est montré que la condition de Blaschke est nécessaire et suffisante pour qu’un sous-ensemble analytique du domaine $D=\left\{z\in {\mathbf{C}}^n;{\sum }_1^n|z_i{|}^{2{\rho }_i}\<1\right\}$ soit l’ensemble des zéros d’une fonction de la classe de Nevanlinna.

In this paper a class of polynomially generalized Vekua–type equations and of polynomially generalized Bers–Vekua equations with variable coefficients defined in a domain of Euclidean space are discussed. Using the methods of Clifford analysis, first the Fischer–type decomposition theorems for null solutions to these equations are obtained. Then we give, under some conditions, the solutions to the polynomially generalized Bers–Vekua equation with variable coefficients. Finally, we present the structure...