Considérons un noyau de convolution $\kappa \ne 0$ sur ${\mathbf{R}}^n$ ($n\ge 3$) sphériquement symétrique et vérifiant $\Delta \kappa \ge 0$ en dehors de 0, qui s’appelle un noyau de Frostman-Kunugui. Le but de cet article est de donner les conditions suffisantes pour le principe du balayage de $\kappa$.Supposons que $\kappa$ est de classe $C^2$ en dehors de 0 et s’annule à l’infini. Si $\Delta \kappa$ vérifie la conditions suivante (*), alors $\kappa ={\kappa }_0+c{r}^{2-n}$, où ${\kappa }_0$ est un noyau de Dirichlet et où $c$ est une constante $\ge 0$.(*) $\Delta \kappa =0$ en dehors de 0 ou bien $\Delta \kappa \>0$ en dehors de 0 et, pour $t\>0$ quelconque, $\frac{\Delta \kappa *s_t\left(x\right)}{\Delta \kappa \left(x\right)}$ décroît...

Les applications continues du cercle $T$ dans $T$ ont des séries de Fourier intéressantes  : le théorème établi ici dit que si les coefficients de Fourier $a\left(n\right)$ sont de carré sommable avec certains poids pour $n\>0$, il en est de même pour $n\<0$. C’est encore vrai pour $VMO$, mais faux pour les applications mesurables bornées.

Soit $\mu \in M\left(G\right)$, algèbre de convolution des mesures de Radon bornées sur le groupe abélien localement compact $G$. Pour que $\mu *M\left(G\right)$ soit fermé dans $M\left(G\right)$ (ou, ce qui revient au même, pour que $\mu *L^1\left(G\right)$ soit fermé), il faut et il suffit que $\mu$ soit la convolution d’une mesure inversible et d’une mesure idempotente.