Pour décrire la structure galoisienne à $\mathbf{Z}\left[G\right]$-isomorphisme près du quotient par $\{\pm 1\}$ du groupe des unités d’une extension abélienne absolue de groupe de Galois $G$ de type $(p,p)$, on amorce la description des $\mathbf{Z}\left[G\right]$-modules de type fini libres sur $\mathbf{Z}$ dont le caractère est contenu dans la représentation d’augmentation. La classification est complète pour les modules de rang inférieur ou égal à 3 ; elle est appliquée à la description donnée par T. Kubota des unités d’un corps biquadratique non cyclique en fonction des...

Nous déterminons sous certaines hypothèses, un système fondamental d’unités du corps non pur $K=\mathbb{Q}\left(\omega \right)$ et de son sous-corps quadratique, où $\omega$ est solution du polynôme$$f\left(X\right)=X^4+d^{-2}{M}_6{X}^2-M_4,$$avec $M_6=D^6+6D^{4}d+9D^2{d}^2+2d^3$, $M_4=D^4+4D^{2}d+2d^2$, $d|D$, $d$, $D\in \mathbb{N}$, non nuls.

Soient $k$ le corps quadratique réel $\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ (respectivement le corps biquadratique $\mathbf{Q}(\sqrt{d},\sqrt{-3})$), $d$ un entier positif sans facteur carré, $K$ une extension cubique cyclique non ramifiée de $k$, diédrale sur $\mathbf{Q}$ totalement réelle, (respectivement diédrale sur $\mathbf{Q}\left(\sqrt{-3}\right)$.)On constate qu’on a deux structures possibles pour le groupe des unités $U_K$ de $K$, notées $alpha$ et $delta$.

Soit $K/\mathbf{Q}$ une extension galoisienne non abélienne, de degré $pq$, de groupe $G$. On étudie dans cet article la structure du groupe des unités $U_K$ de $K$, en tant que module sur l’algèbre $\mathbf{Z}\left[G\right]$. Cela permet de donner quelques propriétés arithmétiques de $K$, comme la détermination des images de $U_K$ par les applications normes sur les sous-corps de $K$, la participation de $p$ au nombre de classes de $K$, et des conditions nécessaires d’existence d’une unité de Minkowski dans $K$.

Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{\left(1\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{\left(2\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and the group $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{\left(1\right)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ est semi-diédral.

Soient $p_1\equiv p_2\equiv 1(mod8)$ des nombres premiers tels que, $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=-1$ et $\left(\frac{2}{a+b}\right)=-1$, où $p_1{p}_2=a^2+b^2$. Soient $i=\sqrt{-1}$, $d=p_1{p}_2$, $𝕜=\mathbb{Q}(\sqrt{d},i)$, ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $𝕜$ et ${𝕜}^{(*)}=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},i)$ le corps de genres de $𝕜$. La 2-partie $C_{𝕜,2}$ du groupe de classes de $𝕜$ est de type $(2,2,2)$, par suite ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ contient sept extensions quadratiques non ramifiées ${𝕂}_j/𝕜$ et sept extensions biquadratiques non ramifiées ${𝕃}_j/𝕜$. Dans ce papier on s’intéresse à déterminer ces quatorze extensions, le groupe $C_{𝕜,2}$ et à étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de $𝕜$ dans ces extensions.