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Points algébriques de hauteur bornée sur la droite projective

Cécile Le Rudulier (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

On considère une hauteur adélique absolue sur l’ensemble des points algébriques de la droite projective 1 , relative à un fibré en droites ample. Nous donnons une formule asymptotique pour le nombre de points algébriques de 1 de degré fixé et de hauteur inférieure à B, lorsque B tend vers l’infini. Le cas où la hauteur considérée est la hauteur absolue usuelle a été traité par Masser et Vaaler. Nous généralisons ce résultat pour les hauteurs adéliques quelconques, en adoptant un point de vue géométrique...

Points entiers et théorèmes de Bertini arithmétiques

Pascal Autissier (2001)

Annales de l’institut Fourier

On décrit dans cet article une version effective d’un théorème de Rumely : on peut trouver beaucoup de points entiers sur des ouverts (assez grands) de variétés arithmétiques, tout en contrôlant la hauteur de ces points. On applique ensuite ce résultat :- aux modèles de variétés abéliennes;- à la démonstration d’un analogue arithmétique des théorèmes de Bertini.

Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques

Jean-Louis Colliot-Thélène, Venapally Suresh (2007)

Annales de l’institut Fourier

Soient K un corps global, T un K -tore, S un ensemble fini de places de K . On note K v le complété de K en v ∈ S . Soit T ( K ) , resp. T ( K v ) , le groupe des points K -rationnels, resp. K v -rationnels, de T . Notons T ( O v ) ⊂ T ( K v ) le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour T et S convenables l’application T ( K ) → ∏ v ∈ S T ( K v ) / T ( O v ) induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour v convenable le groupe T ( O v ) ne couvre pas forcément toutes les classes de R -équivalence de T ( K v ) . Lorsque K est un corps de fonctions d’une variable...

Self-intersection of the relative dualizing sheaf on modular curves X 1 ( N )

Hartwig Mayer (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Let N be an odd and squarefree positive integer divisible by at least two relative prime integers bigger or equal than 4 . Our main theorem is an asymptotic formula solely in terms of N for the stable arithmetic self-intersection number of the relative dualizing sheaf for modular curves X 1 ( N ) / ℚ . From our main theorem we obtain an asymptotic formula for the stable Faltings height of the Jacobian J 1 ( N ) / ℚ of X 1 ( N ) / ℚ , and, for sufficiently large N , an effective version of Bogomolov’s conjecture for X 1 ( N ) / ℚ .

Sieve methods for varieties over finite fields and arithmetic schemes

Bjorn Poonen (2007)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Classical sieve methods of analytic number theory have recently been adapted to a geometric setting. In the new setting, the primes are replaced by the closed points of a variety over a finite field or more generally of a scheme of finite type over ℤ . We will present the method and some of the surprising results that have been proved using it. For instance, the probability that a plane curve over 𝔽 2 is smooth is asymptotically 21 / 64 as its degree tends to infinity. Much of this paper is an exposition...

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