Homology with values in a connection with possibly irregular singular points on an algebraic curve is defined, generalizing homology with values in the underlying local system for a connection with regular singular points. Integration defines a perfect pairing between de Rham cohomology with values in the connection and homology with values in the dual connection.

We give an algebraic description of (wave) fronts that appear in strictly hyperbolic Cauchy problems. A concrete form of a defining function of the wave front issued from the initial algebraic variety is obtained with the aid of Gauss-Manin systems satisfied by Leray's residues.

Soit $\omega$ un germe en $0\in {\mathbf{C}}^n$ de 1-forme différentielle holomorphe, satisfaisant la condition d’intégrabilité $\omega \wedge d\omega =0$ et non dicritique, i.e. sur toute surface $Z$ non intégrale de $\omega$, on ne peut tracer, au voisinage de 0, qu’un nombre fini de germes de courbes analytiques $({\Gamma }_i,P_i)$, intégrales de $\omega$, avec $P_i\in Z\cap Sing\omega$. Alors $\omega$ possède un germe d’hypersurface analytique intégrale.

Let $f,g:U\to {𝔸}^1$ be two regular functions from the smooth affine complex variety $U$ to the affine line. The associated exponential Gauß-Manin systems on the affine line are defined to be the cohomology sheaves of the direct image of the exponential differential system ${𝒪}_U{e}^g$ with respect to $f$. We prove that its holomorphic solutions admit representations in terms of period integrals over topological chains with possibly closed support and with rapid decay condition.

In $𝒟$-modules theory, Gauss-Manin systems are defined by the direct image of the structure sheaf $𝒪$ by a morphism. A major theorem says that these systems have only regular singularities. This paper examines the irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems. It consists in the direct image complex $f_{+}\left(𝒪{\mathrm{e}}^g\right)$ of a $𝒟$-module twisted by the exponential of a polynomial $g$ by another polynomial $f$, where $f$ and $g$ are two polynomials in two variables. The analogue of the Gauss-Manin systems can have irregular...

Le problème de Riemann-Hilbert sur une variété complexe $V$ s’énonce de la manière suivante : soit $A$ un sous-ensemble analytique de $V$ de codimension un en chacun de ses points et $\chi$ une représentation de ${\Pi }_1(V-A)$ dans $\mathrm{Gl}(n,\mathbf{C}$. Existe-t-il un système de Pfaff $df=\omega f$ du type de Fuchs où $\omega \in {\Omega }^{nXn}(V,A)$ (J. de Math. Pures et Appl., 47, (1968)) dont la monodromie soit la classe de la représentation $\chi$ ?On montre en particulier que si $V$ est une variété de Stein contractile et si les composantes irréductibles de $A$ sont sans singularités...

Nous nous donnons, dans l’anneau des germes de fonctions holomorphes à l’origine de ${ℂ}^2$, une fonction $f$ définissant une singularité isolée et nous nous intéressons à l’équation $u{f}_x^{\prime }+v{f}_y^{\prime }=wf$, lorsque la fonction $w$ est donnée. Nous introduisons les multiplicités d’intersection relatives de $w$ et $f_y^{\prime }$ le long des branches de $f$ et nous étudions les solutions à l’aide de ces valuations. Grâce aux résultats ainsi démontrés, nous construisons explicitement une équation fonctionnelle vérifiée par $f$.

We give a geometric descriptions of (wave) fronts in wave propagation processes. Concrete form of defining function of wave front issued from initial algebraic variety is obtained by the aid of Gauss-Manin systems associated with certain complete intersection singularities. In the case of propagations on the plane, we get restrictions on types of possible cusps that can appear on the wave front.