Étant donné un ensemble analytique $S$ de codimension $\ge 2$ dans ${\mathbf{C}}^n$, nous construisons des hypersurfaces irréductibles de lieu singulier $S$, avec contrôle de la croissance. À partir d’un contre-exemple au problème de Bezout transcendant, dû à M. Cornalba et B. Shiffman, nous montrons l’existence d’une courbe irréductible d’ordre 0 dans ${\mathbf{C}}^2$, dont le lieu singulier est d’ordre infini. Nous étudions également en application certaines propriétés arithmétiques de l’anneau de convolution ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^n).$

We survey some recent results concerning the behavior of the contact structure defined on the boundary of a complex isolated hypersurface singularity or on the boundary at infinity of a complex polynomial.

Nous montrons comment un cup-produit non trivial entre deux blocs de Jordan pour une même valeur propre de la monodromie agissant sur la cohomologie de la fibre de Milnor d’un germe de fonction holomorphe $f$ provoque des pôles d’ordres élevés pour le prolongement méromorphe de $|f{|}^{2z}$. Pour la valeur propre 1 ceci donne en particulier le phénomène de “contribution sur-effective”.

We introduce two entire functions $f_{{\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }}$ and $f_{{\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }}$ in two variables. Both of them have only two critical values $0$ and $1$, and the associated maps ${\mathbf{C}}^2\to \mathbf{C}$ define topologically locally trivial fibrations over $\mathbf{C}\setminus \{0,1\}$. All critical points in the singular fibers over $0$ and $1$ are ordinary double points, and the associated vanishing cycles span the middle homology group of the general fiber, whose intersection diagram forms bi-partitely decomposed infinite quivers of type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ and ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$, respectively. Coxeter elements of type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ and...

Soit $I$ un idéal de $\mathbf{C}\{z_1,...,z_n\}$ définissant l’origine de ${\mathbf{C}}^n$. On donne une méthode explicite pour déterminer, après un choix convenable des générateurs de $I=(f_1,...,f_{n+p})$, le cycle de ${\mathbf{P}}^{n+p-1}$ sous-jacent à la fibre exceptionnelle de l’éclatement de ${\mathbf{C}}^n$ relativement à $I$. On étudie également l’éclatement d’une famille équimultiple d’idéaux ponctuels paramétrée par un germe d’espace analytique complexe réduit.

On construit un transport transverse aux fibres d’une fonction multivaluée de type $f_1^{{\lambda }_1}...f_p^{{\lambda }_p}$ (${\lambda }_i$ complexes), à l’origine de ${ℂ}^2$. Ce transport est unique à isotopie près. On en déduit l’existence de voisinages réguliers dans lesquels les fibres sont toutes $C^{\infty }$ difféomorphes (voire dans un cas quasi-homogène, analytiquement difféomorphes). On obtient également une généralisation de la notion de monodromie. On calcule enfin l’homologie évanescente de la fibre-type, en précisant le gradué qui lui est associé.